Lambacher Schweizer LS Mathematik 5. Schülerbuch. Neubearbeitung. Rheinland-Pfalz pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Klett Ernst /Schulbuch

作者:unknown

出品人:

页数:226

译者:

出版时间:2006-7-31

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783127346510

丛书系列:

图书标签:

• Mathematik
• Schülerbuch
• LS Mathematik
• Lambacher Schweizer
• 5
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深入探索高等数学的奥秘：一本旨在全面提升数学思维与应用能力的教材 书名： 高等数学精要与应用进阶：理论、方法与实践案例解析 作者团队： [此处可虚构一个知名的数学教育专家团队，例如：由多位资深大学数学教授及中学数学竞赛教练共同编撰] 出版年份： [虚构一个年份，例如：2024年] 目标读者： 具备扎实初级代数和几何基础，渴望深入理解高等数学核心概念，并希望将所学知识应用于科学、工程及经济领域的学生、自学者及在职专业人士。 --- 第一部分：基石的重塑与深化——微积分的严谨构建 本书的开篇并非简单地重复基础微积分的运算规则，而是致力于从更深刻的数学原理出发，对微积分的核心概念进行严谨而直观的重构。我们深知，扎实的理论基础是攀登数学高峰的唯一途径。 第一章：实数系的完备性与极限的严格定义 本章首先回顾了有理数系的局限性，引入戴德金分割 (Dedekind Cuts) 或柯西序列的概念，以严谨地构造实数集 $mathbb{R}$。我们将花费大量篇幅阐释上确界 (Supremum) 与下确界 (Infimum) 的重要性，并以此为基石，引入 $epsilon - N$ 语言对数列的极限进行精确定义。通过大量具有启发性的例题，引导读者掌握如何利用 $epsilon$ 与 $N$ 建立严格的极限证明，而非仅仅停留在直觉理解。 第二章：连续性、导数与微分学的拓扑基础 在建立了极限的概念后，本章深入探讨函数在点上的连续性，特别是一致连续性的概念及其在区间上的重要性（如介值定理和极值定理的拓扑解释）。 导数的引入，不仅关注其作为瞬时变化率的物理意义，更将其置于线性近似的框架下进行考察。我们将详细分析微分的几何意义，并引入微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西） 的严格证明。针对L'Hôpital's Rule，我们不仅展示其应用，更深入剖析其背后的泰勒级数展开的隐含联系。 第三章：黎曼积分的理论构建与积分的几何意义 本章摒弃了传统的“面积”直观理解，转而基于上和 (Upper Sum) 与下和 (Lower Sum) 的概念，严格定义黎曼可积性。我们证明了连续函数在闭区间上的可积性，并探讨了狄利克雷函数等不一定可积函数的例子，以突出积分理论的微妙之处。 微积分基本定理被提升到核心地位，我们不仅证明了其等价性，更从微分算子的逆运算角度解读其深刻内涵。此外，本章还引入了广义积分 (Improper Integrals) 的处理方法，特别是涉及无穷区间和奇点的敛散性判定。 --- 第二部分：多变量分析的广阔天地 本书的第二部分将读者的视野从平面拓展到高维空间，为理解物理学、工程学中的复杂系统打下坚实基础。 第四章：偏导数、梯度与多元函数的优化 针对多元函数，我们首先精确定义偏导数与方向导数。重点在于引入梯度向量 (Gradient Vector)，阐释其在寻找函数增长最快方向中的核心作用。 多元函数的极值问题是本章的重点。我们将详细解析Hessian 矩阵的构建及其在二阶偏导检验中的应用，不仅限于鞍点、局部最大值和最小值，更拓展到二次型的性质判断。 第五章：多重积分与坐标变换的艺术 本章系统地介绍了二重积分和三重积分。我们强调了Fubini 定理的适用条件及其在计算中的实际应用。 最具挑战性但也最富魅力的部分在于坐标变换。我们不仅讲解了极坐标、柱坐标和球坐标的变换公式，更重要的是，深入剖析雅可比行列式 (Jacobian Determinant) 的物理和几何意义——即它如何衡量在变换过程中面积或体积的缩放因子。大量的实例将展示如何根据积分区域的形状高效地选择最优坐标系。 第六章：向量场与线积分、面积分 向量分析是连接纯数学与应用科学的桥梁。本章引入向量场的概念，并详细阐述线积分 (Line Integrals) 的路径依赖性。 随后，我们引入Green 定理（平面上）、Stokes 定理和Gauss 散度定理 (Divergence Theorem)。这些定理被视为微积分基本定理在更高维度上的推广。证明过程侧重于理解这些定理在“边界与内部”之间建立联系的深刻机制。 --- 第三部分：工具箱的拓展——级数、微分方程与应用 高等数学的学习不仅在于掌握核心的微积分，更在于学会如何利用这些工具来建模和解决实际问题。 第七章：无穷级数与函数逼近 本章回归到一维，但深入到无穷。在复习比值检验、根值检验之后，我们将重点放在幂级数 (Power Series) 的收敛半径与收敛区间上。 泰勒级数与麦克劳林级数的展开不再是简单的公式套用，而是作为一种强大的函数逼近手段来讲解。我们将探讨函数的唯一性，并介绍傅里叶级数的基本概念，作为连接连续函数与周期性现象的初步桥梁。 第八章：常微分方程（ODE）的经典解法与定性分析 本书对常微分方程的介绍旨在提供一个坚实的方法论基础。我们将系统讲解一阶微分方程（如可分离变量、恰当方程、一阶线性方程）和二阶常系数线性方程的求解技巧。 重点在于对非齐次方程的待定系数法和常数变易法的深入比较。此外，我们引入相平面分析 (Phase Plane Analysis) 的思想，即使不求出精确解，也能对解的长期行为（如稳定性）做出定性判断。 附录：数学建模导论与计算工具的融合 附录部分旨在弥合理论与实践的鸿沟。我们将提供如何将本书所学的知识应用于简单的物理模型（如阻尼振动、热传导的简化）和经济模型（如最优控制的初步概念）。同时，本书强烈建议读者结合现代计算软件（如MATLAB、Python的SciPy库）进行数值验证，以加深对理论结果的直观理解。 --- 本书特色总结： 1. 理论驱动，严谨而不失直观性： 每一个定理和公式的引入都伴随着清晰的几何或物理意义阐释，同时保证数学推导的严谨性。 2. 注重证明的内涵： 强调理解“为什么”成立，而非仅仅记忆“如何计算”。 3. 多维度的视角整合： 有机结合了极限理论、拓扑直觉、向量分析和微分方程，构建一个统一的数学分析框架。 4. 挑战性的习题设计： 习题分为基础巩固、深入理解和高级应用三个层次，确保学习者能够全面提升解决问题的能力。 本书旨在将读者从“会用工具”提升到“理解工具的制造原理”的层次，为未来深入学习纯数学、应用数学、物理学或工程学打下不可动摇的理论基础。

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