Fourier Integrals in Classical Analysis (Cambridge Tracts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Christopher D. Sogge

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:2008-04-24

价格:USD 50.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521060974

丛书系列:Cambridge Tracts in Mathematics

图书标签:

Fourier analysis
Harmonic analysis
Integral transforms
Classical analysis
Mathematical analysis
Cambridge Tracts in Mathematics
Functions of real variables
Mathematical physics
Partial differential equations
Complex analysis

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具体描述

Fourier Integrals in Classical Analysis is an advanced monograph concerned with modern treatments of central problems in harmonic analysis. The main theme of the book is the interplay between ideas used to study the propagation of singularities for the wave equation and their counterparts in classical analysis. Using microlocal analysis, the author, in particular, studies problems involving maximal functions and Riesz means using the so-called half-wave operator. This self-contained book starts with a rapid review of important topics in Fourier analysis. The author then presents the necessary tools from microlocal analysis, and goes on to give a proof of the sharp Weyl formula which he then modifies to give sharp estimates for the size of eigenfunctions on compact manifolds. Finally, at the end, the tools that have been developed are used to study the regularity properties of Fourier integral operators, culminating in the proof of local smoothing estimates and their applications to singular maximal theorems in two and more dimensions.

《傅里叶积分在经典分析中的应用》（Cambridge Tracts in Mathematics）本书简介主题聚焦：本书深入探讨了傅里叶积分在经典数学分析中的核心作用、理论基础及其在解决复杂数学问题中的实际应用。它并非仅仅是傅里叶分析的入门读物，而是侧重于傅里叶积分作为一种强有力工具，如何在传统的微积分、微分方程理论以及泛函分析的特定领域中发挥关键作用。全书结构严谨，从基础概念出发，逐步深入到更高级的理论建构。第一部分：基础理论的重建与深化本书伊始，首先对傅里叶积分的核心数学结构进行了严谨的定义与考察。不同于仅停留在周期函数或有限区间上的傅里叶级数，本书着重于非周期函数的傅里叶积分表示。作者细致地分析了狄利克雷（Dirichlet）积分核的性质，并对积分的收敛性，特别是点态收敛、平均收敛（$L^1$ 范数下）以及一致收敛的条件进行了详尽的讨论。重点在于函数的空间选择。本书超越了简单的勒贝格积分（Lebesgue Integration）框架，引入了更精细的函数空间，例如，对 $L^p$ 空间中函数的傅里叶变换进行了深入分析。这包括了对测度论在定义广义傅里叶积分时必要性的论证，特别是对于那些经典黎曼积分无法处理的奇异函数和分布函数。对积分的逆变换（即傅里叶反演公式）的严格证明，采用了多种分析技术，包括利用柯西积分定理的复变函数方法和实分析中的逼近技术。第二部分：微分算子与微分方程傅里叶积分在处理常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）中的价值，是本书的又一核心篇章。傅里叶变换的“微分变乘法”特性，使得许多复杂的微分运算得以转化为代数运算，极大地简化了方程的求解过程。书中详细阐述了如何利用傅里叶积分来求解具有恒定系数的线性常微分方程。这部分内容不仅限于求解齐次方程，还包括对非齐次方程（涉及狄拉克 $delta$ 函数作为源项）的系统性处理。在偏微分方程方面，本书将焦点放在了热传导方程（或扩散方程）和波动方程在无限域上的经典初边值问题。作者展示了如何通过对空间变量进行傅里叶积分变换，将 PDE 转化为常微分方程（关于时间的方程），求解后再通过逆变换还原解。对于热传导方程，书中特别讨论了庞德尔的解（Poisson Kernel）的构建过程，以及该核函数在傅里叶积分框架下的性质。对拉普拉斯方程在 $mathbb{R}^n$ 上的基本解（Green's function）的构造，也完全依托于傅里叶积分的强大工具。第三部分：卷积与函数空间卷积（Convolution）是傅里叶积分理论中最深刻的应用之一。本书投入大量篇幅，从代数结构的角度阐述了傅里叶变换与卷积之间的对偶关系：傅里叶空间中的乘积对应于原空间中的卷积。这种关系被用于： 1. 正则化（Regularization）：利用平滑的核函数与原函数进行卷积，以构造一个序列，该序列在泛函空间中收敛于原函数，特别是在 $L^p$ 空间中。 2. 解耦：在求解积分方程时，将积分方程转化为代数方程，例如第二类伏尔泰拉积分方程的求解。此外，本书对傅里叶变换的约束进行了探讨，特别是不确定性原理在分析中的体现，即一个函数及其傅里叶变换的“集中度”之间的关系。对 $mathcal{S}(mathbb{R})$（Schwartz 空间，即快速递减函数空间）的分析，作为傅里叶变换在保守良好的环境下的定义域，是构建严格理论的基础。第四部分：与泛函分析的交汇点本书的最后部分将傅里叶积分置于更广阔的泛函分析背景下考察。讨论转向了Plancherel 定理和Parseval 恒等式的严格推导。Plancherel 定理证明了傅里叶变换在 $L^2$ 空间上的酉等距性，这使得 $L^2$ 空间成为傅里叶分析的“自然”栖息地。通过 $L^2$ 上的傅里叶变换，本书引入了希尔伯特空间的概念，并将傅里叶基的性质（如正交性和完备性）推广到无限维空间。总结而言，《傅里叶积分在经典分析中的应用》旨在为读者提供一个深刻而严谨的视角，展示傅里叶积分如何从一个求解特定问题的技巧，发展成为支撑现代经典分析和偏微分方程理论的基石。本书对数学基础的重视程度，使其成为一个不可或缺的参考资料。