Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Kehe Zhu

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2010-11-10

价格:USD 84.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441919618

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 1
• 复分析
• 全息函数
• 单位球
• 函数空间
• 柯西积分公式
• 正交多项式
• 算子论
• 函数论
• 数学分析
• 几何函数论

《单位球体中的全纯函数空间》 本书深入探讨了在单位球体上的全纯函数空间，这不仅是复分析领域的一个核心课题，也是现代数学分析，尤其是算子理论、调和分析和偏微分方程等领域的重要基石。单位球体，以其简洁的几何结构，为研究全纯函数提供了一个天然且富有挑战性的平台。本书旨在为读者提供一个全面、严谨且富有洞察力的视角，剖析这些特殊函数空间的结构、性质及其在不同数学分支中的应用。 第一章：基本概念与预备知识 在正式进入全纯函数空间的研究之前，本章将回顾并梳理必要的概念和工具。我们将从单位球体的拓扑和几何性质出发，定义复向量空间$mathbb{C}^n$中的单位球体$B_n$及其边界$partial B_n$。接着，我们会详细介绍全纯函数的基本定义，包括其在开集上的解析性以及柯西-黎曼方程在多复变量下的推广。 重点将放在一些关键的分析工具上，例如多复变量下的勒贝格积分理论，这对于定义和度量函数空间至关重要。此外，柯西积分公式及其在单位球体上的推广也将被详细阐述，它们是连接函数局部性质与全局性质的关键。对于函数的范数概念，我们将引入几种在研究全纯函数空间时常用的范数，例如上确界范数、$L^p$范数以及可能出现的其他范数，为后续章节的度量空间结构奠定基础。 第二章：Hardy 空间与 Bergman 空间 本章将集中介绍两个最具代表性的单位球体上的全纯函数空间：Hardy 空间$H^p(B_n)$和 Bergman 空间$A^p(B_n)$。 对于 Hardy 空间，我们将首先讨论其在单位圆盘上的经典定义，然后将其推广到单位球体。通过引入“上调和函数”的概念，我们可以更自然地理解 Hardy 空间中的函数。我们将详细推导 Hardy 空间中的重要性质，例如其构成了一个 Banach 空间，并且在$p geq 1$时，它是自反的。此外，我们将研究 Hardy 空间中的对偶空间，特别是 $H^infty(B_n)$，以及它们之间的关系。柯西核在 Hardy 空间中的作用，以及如何利用它来表示和刻画空间中的函数，也将是本章的重点。 Bergman 空间则以其“积分平均”的定义而著称。我们将介绍 Bergman 空间$A^p(B_n)$的定义，其中函数的“大小”是通过在单位球体上积分其$p$次幂来衡量的。我们将探讨 Bergman 空间是否构成 Banach 空间，并研究其在$p=2$时，即 Bergman 空间$A^2(B_n)$，具有 Hilbert 空间结构。投影算子，特别是 Bergman 投影，将在这一章节扮演核心角色。我们将深入研究 Bergman 投影的性质，包括其有界性、正交性以及如何将函数分解为全纯和反全纯部分。 Bergman 空间中的核函数，即 Bergman 核，将作为一种重要的工具，用于构造 Bergman 投影，并研究空间中函数的逼近性质。 第三章：函数空间的拓扑与代数结构 本章将对 Hardy 空间和 Bergman 空间进行更深入的拓扑和代数结构分析。我们将考察这些空间中的收敛性概念，包括点态收敛、一致收敛以及在不同范数下的收敛性。一致收敛在研究函数序列的极限性质时尤为重要，而范数收敛则直接与空间本身的度量结构相关。 我们将深入研究这些空间的代数性质，例如它们是否具有可分性，以及它们的维度（如果有限维）。我们还将考察这些空间中的子空间，例如由多项式构成的子空间，以及这些子空间在原空间中的稠密性。 此外，本章将引入一些更精细的拓扑结构，例如弱拓扑和弱拓扑。理解这些拓扑对于研究算子在这些空间上的作用，以及理解它们的对偶空间至关重要。我们将探讨这些拓扑下收敛的等价条件，以及它们在函数逼近和延拓问题中的应用。 第四章：算子理论在全纯函数空间中的应用 全纯函数空间是研究各种算子，尤其是乘法算子和位积算子（Composition Operators）的天然场所。本章将聚焦于这些算子在 Hardy 和 Bergman 空间上的性质。 乘法算子$M_g(f)(z) = g(z)f(z)$，其中$g$是单位球体上的一个函数，其在这些全纯函数空间上的有界性和紧致性将是研究的重点。我们将分析乘法算子的范数，并探讨它们与函数$g$的性质之间的关系。 位积算子$C_phi(f)(z) = f(phi(z))$，其中$phi$是单位球体到自身的映射，是另一类非常重要的算子。我们将研究位积算子在 Hardy 和 Bergman 空间上的有界性、紧致性以及其谱性质。特别是，我们将分析映射$phi$的性质如何影响位积算子，例如$phi$的收缩性或扩张性。 此外，我们还将考虑一些其他类型的算子，例如积分算子（如 Riesz 变换），以及它们在这些全纯函数空间上的作用。理解这些算子如何作用于函数及其在空间中引起的变换，对于解决许多偏微分方程和复几何问题至关重要。 第五章：函数空间的应用 本书的最后一章将展示 Hardy 和 Bergman 空间在当代数学研究中的广泛应用。 在算子代数领域，这些空间为研究算子代数的结构提供了丰富的例子。特别是，Toeplitz 算子和 Hankel 算子在这些空间上的研究，揭示了深刻的代数和分析性质。 在复几何领域，单位球体上的全纯函数空间在研究 Kähler 流形和复解析几何中扮演着重要角色。例如，在光滑流形上定义全纯函数空间，以及研究这些空间的模空间，是活跃的研究方向。 在偏微分方程领域，Hardy 和 Bergman 空间为研究线性与非线性偏微分方程的解的正则性、存在性和唯一性提供了分析工具。例如，在解狄利克雷问题、Neumann 问题以及其他边界值问题时，这些空间中的函数性质至关重要。 在调和分析领域，全纯函数空间与傅里叶分析、小波分析等理论紧密相连。例如，在研究函数的分解、逼近以及其在不同尺度上的性质时，这些空间提供了重要的框架。 通过这些应用，本书旨在展示单位球体上的全纯函数空间不仅仅是抽象的数学对象，更是连接不同数学分支、解决实际问题的强大工具。本书的编写力求严谨，同时兼顾清晰的逻辑和直观的解释，旨在帮助读者深入理解这一迷人而重要的数学领域。

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