Variational Analysis and Generalized Differentiation I pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Berlin Heidelberg

作者:Boris S. Mordukhovich

出品人:

页数:579

译者:

出版时间:2009-11-23

价格:USD 119.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783642064821

丛书系列:

图书标签:

• 变分分析
• 广义微分
• 优化
• 非光滑分析
• 凸分析
• 集合值函数
• 次微分
• 对偶性
• 数学规划
• 泛函分析

《变分分析与广义微分学（卷一）》 引言 在数学的广袤天地中，优化问题和非光滑分析占据着核心地位，其应用渗透到科学、工程、经济学乃至人工智能的各个领域。然而，传统的微积分工具，建立在光滑函数的基础上，在面对实际问题中频频出现的不可微、不连续或多值函数时，往往显得力不从心。这催生了对更普适、更强大的分析工具的需求。《变分分析与广义微分学（卷一）》正是应运而生，旨在为读者构建一套严谨而系统的理论框架，以应对这些挑战。本书并非孤立的数学理论堆砌，而是紧密联系着实际需求，力图展现变分分析和广义微分学在解决复杂问题时的强大力量。 本书的第一卷，如同一个精心打磨的基石，为后续的深入探索奠定了坚实的基础。它将引导读者从最基础的概念出发，逐步构建起变分分析和广义微分学的核心理论体系。全书共分为多个章节，每一章都力求概念清晰，逻辑严谨，并配以恰当的例子和练习，以帮助读者更好地理解和掌握。 第一章：集合论基础与拓扑概念 在展开变分分析与广义微分学的宏伟蓝图之前，扎实的集合论基础与清晰的拓扑概念是不可或缺的。本章将系统回顾并梳理读者在学习过程中可能遇到的关键集合论工具，包括集合的运算、关系、函数等基本概念，并在此基础上，着重介绍在度量空间和拓扑空间中至关重要的拓扑概念。 我们将深入探讨开集、闭集、紧集、连通集等基本概念的定义及其相互关系。这些概念不仅仅是抽象的数学语言，更是理解函数行为、证明定理的关键。例如，紧集的性质在最优化问题中扮演着至关重要的角色，它保证了最优化值的存在性。我们还会介绍极限点、聚点、稠密集等概念，它们为我们理解函数的收敛性以及集合的“密集”程度提供了理论支撑。 此外，本章将详细阐述度量空间和拓扑空间的区别与联系。度量空间提供了距离的概念，使得我们能够定义收敛性、连续性和完备性；而拓扑空间则将这些概念进行了更一般的抽象，其本质在于开集的结构。理解这两种空间的概念，对于我们在不同数学环境中灵活运用变分分析和广义微分学至关重要。 第二章：凸集与凸函数 凸集和凸函数是变分分析领域的核心研究对象，它们拥有许多“良好”的性质，使得优化问题得以简化和有效求解。本章将围绕凸集和凸函数的定义、性质及其判定方法展开。 我们将首先定义凸集，并介绍一些重要的凸集类型，如超平面、半空间、多面体等。我们将深入探讨凸集的代数性质，例如凸集的交集、凸组合等操作仍然保持凸性。接着，我们将引入凸函数的定义，并从几何角度和代数角度阐述凸函数的直观理解。例如，连接函数图像上任意两点的线段总是位于函数图像的上方或线上，这是凸函数的一个重要几何特征。 本章的重点之一是凸函数的判定方法。我们将介绍判定凸函数的几种常用方法，包括利用二阶导数（在光滑情况下）、Jensen不等式以及上凸集的定义等。掌握这些判定方法，能够帮助我们快速识别出具有优良性质的函数，从而选择合适的优化算法。 此外，我们还将讨论凸函数的一些重要性质，例如局部最小值即为全局最小值、凸函数在紧集上的连续性等。这些性质是许多优化算法的理论基础。 第三章：度量空间中的基本概念 变分分析常常在更一般的度量空间中进行研究，以拓宽其应用范围。本章将聚焦于度量空间中的基本概念，为后续更深入的理论发展打下基础。 我们将详细介绍度量空间的定义，并列举一些常见的度量空间，如欧几里得空间 R^n、函数空间（如 L^p 空间、C[a, b] 空间）等。度量空间中的距离函数是度量空间的核心，它定义了空间中任意两点之间的“远近”，并由此引申出一系列重要的概念。 我们将深入探讨度量空间中的收敛性。点列的收敛、函数的收敛（逐点收敛、一致收敛）等概念将被清晰界定。紧接着，我们将介绍度量空间中的完备性。完备度量空间是指其中的柯西列都收敛于该空间内的点，这对于保证最优化值的存在性至关重要。我们还将介绍度量空间中的开集、闭集、紧集等拓扑性质，以及它们与收敛性和完备性的联系。 第四章：函数空间与泛函 在许多应用中，我们需要研究的对象是函数本身，甚至是对函数的“函数”——即泛函。本章将介绍函数空间的概念，并在此基础上引入泛函及其基本性质。 我们将回顾并介绍一些重要的函数空间，如 L^p 空间（平方可积函数空间）、C[a, b]（连续函数空间）、H^k（ Sobolev 空间）等。这些函数空间通常被赋予了适当的范数或内积，使其成为一个度量空间或赋范线性空间。我们会探讨这些空间的基本拓扑性质，例如其完备性。 随后，我们将定义泛函，即从一个函数空间到实数或复数域的映射。我们将讨论泛函的连续性、有界性、导数（在广义意义下）等概念。理解泛函的性质，是解决变分法问题（如最小化能量、寻找最优控制策略）的关键。 第五章：黎曼积分与勒贝格积分 积分是微积分的另一大支柱，而勒贝格积分作为黎曼积分的推广，在现代分析中扮演着越来越重要的角色，尤其是在处理非光滑函数和处理测度空间的积分时。本章将系统介绍黎曼积分和勒贝格积分。 我们将回顾黎曼积分的定义、性质和积分与导数的关系。接着，我们将引入测度的概念，这是勒贝格积分的基础。我们将定义勒贝格积分，并阐述其与黎曼积分的关系，以及勒贝格积分在处理更广泛的函数类方面的优势。 本章的重点将放在勒贝格积分的性质上，特别是控制收敛定理（或称控制收敛定理），这是进行函数空间分析和证明许多重要结果的基石。我们还会介绍积分的可交换性、积分的线性性质等。 第六章：集合的支撑与局部性质 在分析函数的局部性质时，集合的支撑概念至关重要。本章将围绕集合的支撑，以及函数的局部性质展开。 我们将定义集合的支撑，并探讨其在函数定义域中的作用。接着，我们将引入局部性质的概念，例如函数在某一点的局部连续性、局部可微性等。我们将利用集合的支撑来分析函数的局部行为，并展示如何通过对局部性质的分析来推断函数的全局性质。 第七章：广义微分学的萌芽：方向导数与Gâteaux微分 本书的核心内容之一是广义微分学，它旨在将微积分的概念推广到不可微函数。本章将作为广义微分学的第一步，介绍方向导数和 Gâteaux 微分。 我们将从熟悉的方向导数概念出发，将其推广到多维空间。然后，我们将介绍 Gâteaux 微分，它是在一个方向上的“微分”的概念。我们将详细阐述 Gâteaux 微分的定义、存在性条件以及其与函数方向导数的关系。Gâteaux 微分是更一般意义上的微分概念的初步探索，它为后续更复杂的广义微分概念铺平了道路。 结论 《变分分析与广义微分学（卷一）》致力于为读者提供一个坚实而全面的理论基础。本书通过对集合论、拓扑学、凸分析、度量空间、函数空间、积分理论以及广义微分学初步概念的系统讲解，旨在帮助读者建立起理解和应用变分分析与广义微分学的必备知识体系。 本卷的知识点环环相扣，由浅入深。从最基本的集合和拓扑概念，到凸集和凸函数这一核心研究对象，再到更抽象的度量空间和函数空间，以及积分理论的推广，最后引出广义微分学的初步探索。每一章的内容都为后续章节的深入学习打下基础，并为读者最终掌握变分分析和广义微分学的强大工具做好准备。 通过对本书的学习，读者将能够： 深入理解 变分分析与广义微分学中的核心概念和基本理论。 掌握 判断凸集和凸函数的方法，并理解其在优化问题中的重要性。 熟悉 度量空间和函数空间的基本性质，以及勒贝格积分的优势。 初步接触 广义微分学的思想，为后续更复杂的分析打下基础。 培养 严谨的数学思维和解决复杂分析问题的能力。 本书的编写力求清晰易懂，同时又不失数学的严谨性。我们相信，通过对本书的学习，读者将能够更好地理解和应用变分分析与广义微分学，为他们在各自的研究领域中解决实际问题提供有力的数学工具。本卷的结束，也标志着读者即将踏上更广阔的变分分析与广义微分学之旅。

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