P-Adic Monodromy and the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Barry Mazur

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1994-05

价格:USD 40.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821851807

丛书系列:

图书标签:

• P-adic numbers
• Monodromy
• Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
• Arithmetic geometry
• Number theory
• Algebraic geometry
• L-functions
• Galois representations
• Modular forms
• Elliptic curves

《p进单值群与BSD猜想》 这部著作深入探讨了现代数论中两个核心且相互关联的领域：p进单值群理论以及著名“柏奇和斯温纳顿-戴尔猜想”（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture，简称BSD猜想）。本书旨在为读者构建一个坚实的理论框架，以理解这两个前沿数学分支的深刻联系，并提供解决BSD猜想这一世纪难题的潜在途径。 第一部分：p进域与p进分析 在深入p进单值群之前，有必要对p进数系统及其分析理论进行彻底的审视。本部分将从p进数的构造开始，介绍p进范数、p进域的完备化，并建立p进整数环的代数结构。我们将详细阐述p进数的拓扑性质，包括其度量空间结构、连通性以及p进开集和闭集的概念。 接下来，我们将过渡到p进分析。函数在p进域上的定义、连续性、可微性将得到细致的讨论。特别地，幂级数在p进分析中的作用至关重要，我们将探讨其收敛条件、求和以及一些重要的p进函数，如p进指数函数和p进对数函数，它们在后续理论中扮演着核心角色。这些函数不仅仅是实数域上相应函数的简单“p进版本”，它们拥有独特的性质，深刻影响着p进分析的计算和结构。 此外，本部分还将涉及p进积分和p进微分方程。p进积分的定义及其与p进测度的关系将是研究的重点。p进微分方程的解的存在性、唯一性以及它们在p进代数几何中的作用也将被初步探讨。理解p进分析的工具和技术，是理解p进单值群的基础。 第二部分：代数簇与算术曲线 BSD猜想的核心是对定义在有理数域上的代数簇，特别是算术曲线的性质进行研究。因此，本部分将首先回顾代数簇的基本概念，包括仿射簇、射影簇、理想、代数集、簇的维度和光滑性等。我们将介绍代数簇的定义域从域扩展到更一般的环，从而引入算术簇的概念。 重点将放在定义在有理数域上的曲线，即算术曲线。我们将介绍椭圆曲线的理论，这是BSD猜想最著名的应用场景。包括椭圆曲线的代数定义、群律的构造、复数域上的同构以及模形式与椭圆曲线之间的联系（例如，Taniyama-Shimura-Weil猜想）。 对于一般的算术曲线 $C/mathbb{Q}$，我们将引入其雅可比簇（Jacobian variety）的概念，这是一个由曲线上的阿贝尔簇组成的簇，它扮演着理解曲线整体算术性质的关键角色。我们将探讨雅可比簇的定义、性质以及它与曲线本身模形式表示之间的联系。 此外，本部分还将触及数域上的代数簇，并介绍局部-全局原理，例如哈斯-敏可夫斯基定理，它为理解代数簇在不同p进域和实数域上的可解性提供了重要的启示。 第三部分：p进单值群的构造与性质 p进单值群是连接p进分析与算术几何的桥梁。本部分将正式介绍p进单值群的定义。其核心思想是，对于一个定义在有理数域上的代数簇（特别是椭圆曲线或算术曲线的雅可比簇），我们可以在一个p进域上（例如，复数域的p进类域扩张）构造一个与之相关的单值群。 我们将从p进分析的视角出发，探讨在p进域上构造的“p进复形”或“p进黎曼曲面”。然后，我们将讨论如何定义单值函数，特别是那些在p进域上具有特定解析性质的函数。单值群的定义通常涉及到在p进域上定义一个群结构，并且这个群的元素与代数簇的某些算术或几何对象相关联。 一个重要的方面是p进单值群的“模形式”的对应。就像在复数域上，椭圆曲线由模函数刻画一样，p进单值群也与p进模形式或p进L函数紧密相关。我们将详细阐述这种对应关系的建立，包括p进L函数的定义、性质以及它们与p进单值群的谱（spectrum）之间的关系。 本部分还将深入研究p进单值群的结构。例如，对于椭圆曲线，其p进单值群的结构如何反映了该曲线在p进域上的算术信息。我们将探讨p进单值群的维数、生成元以及它们与模形式空间之间的映射。 第四部分：p进单值群与BSD猜想的联系 这是本书的核心应用部分，我们将详细阐述p进单值群理论如何为理解BSD猜想提供新的视角和工具。 BSD猜想陈述了：对于一个定义在有理数域上的椭圆曲线 $E$，其L函数 $L(E, s)$ 在 $s=1$ 处的零点阶数等于该椭圆曲线有理点群 $E(mathbb{Q})$ 的秩（rank）。此外，猜想还给出了L函数在 $s=1$ 处非零部分的精确公式，它与该曲线的全局秩、Shafarevich-Tate群、单位群的指数以及基点因子（regulator）相关。 本部分将重点展示p进单值群如何在以下方面帮助理解BSD猜想： 1. p进L函数与p进单值群的谱： 我们将展示p进L函数如何从p进单值群的某些几何对象（如p进黎曼曲面上的类（classes））中自然产生。p进单值群的谱（spectrum）是一个由p进单值函数构成的空间，它捕获了p进域上的拓扑和分析信息，并与p进L函数的核心性质紧密相连。 2. p进单值群与算术群的秩： p进单值群的结构，特别是其p进L函数相关的部分，能够提供关于椭圆曲线或算术曲线的算术群（例如，其Mordell-Weil群的p进“高度”）的深刻信息。研究p进单值群的“p进基点因子”（p-adic regulator）将有助于理解BSD猜想中与秩相关的部分。 3. p进单值群与Shafarevich-Tate群： 理论上，p进单值群的某些“退化”或“失效”（vanishing）的性质可能与Shafarevich-Tate群的有限性相关，这是BSD猜想的另一个重要组成部分。我们可能会探讨p进单值群与局部-全局原理（如Hasse principle）之间的深层联系，以及它们如何影响Shafarevich-Tate群的结构。 4. p进单值群的构造作为一种“p进复形”： 类似于复数域上，代数簇的单值群可以通过复数域上的黎曼曲面的路径积分来理解。p进单值群的构造，尤其是在p进域上的“p进复形”的视角下，提供了一种新的方法来理解代数簇的算术性质，并试图将这些性质编码到p进单值群的结构中。 第五部分：前沿发展与未来展望 本部分将回顾p进单值群理论和BSD猜想研究的最新进展，包括与p进L函数、p进Galois表示、p进Hodge理论以及p进几何相关的最新成果。 我们将讨论当前在证明BSD猜想的各个方面所面临的挑战，以及p进单值群理论在克服这些挑战方面的潜力。这可能包括对特定类别的算术曲线（例如，复数域上的某些特殊椭圆曲线）应用p进单值群理论，并获得部分BSD猜想的证明。 最后，本书将对p进单值群理论的未来发展方向进行展望，探讨其在其他数论问题，如类域论、L函数的中心点值猜想以及高维算术簇的研究中的潜在应用。我们将强调p进单值群作为一种统一框架，连接代数、分析与数论的强大力量，为解决数学中最深刻的问题之一提供希望。 这部著作的内容丰富，理论严谨，旨在为数论研究者、代数几何学家以及对现代数论前沿感到好奇的读者提供一份全面而深入的指导。它不仅梳理了p进单值群与BSD猜想之间的复杂关系，更重要的是，它可能为读者提供了解决这些数学难题的新思路和新工具。

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