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出版者:American Mathematical Society, Fields Institute

作者:Joachim Lohkamp, Pierre Pansu, and Peter Petersen Gerard Besson

出品人:

页数:115

译者:

出版时间:1996-1-23

价格:USD 59.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821802632

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 黎曼几何
• 流形
• 拓扑学
• 数学
• 几何学
• 张量分析
• 曲线曲面
• 广义相对论
• 高等数学

《几何的沉思》 一部探索数学宇宙深层结构的旅程 在人类文明漫长的知识探索历程中，几何始终占据着核心地位，它不仅是度量与形状的学问，更是理解宇宙空间本质的语言。从古希腊人对平面与三维空间的精准描述，到近代数学家们对非欧几何的惊人发现，几何的疆域不断拓展，其内涵也日益深化。本书《几何的沉思》并非一本旨在讲解特定几何分支的教科书，而是一场邀请读者一同深入数学宇宙腹地，探索几何思想演变、核心概念的精妙以及它们如何塑造我们对现实世界的认知。 本书的出发点，是追溯几何的源起。我们将目光投向古巴比伦和古埃及，在那里，几何最初以实用性的测量和计算形式萌芽，为后来的理论体系奠定了基础。随后，我们将重点聚焦于古希腊数学的黄金时代，尤其是欧几里得的《几何原本》。这部划时代的著作，以其公理化、演绎式的推理方式，构建了一个严谨而优美的平面几何体系，它不仅是数学史上的里程碑，更是西方理性思维的典范。我们将深入剖析《几何原本》的公理系统，探讨其简洁性、完备性以及由此推导出的令人叹为观止的定理，同时也会审视其在长达两千多年的历史中，是如何被视为真理的唯一写照，以及它对科学、哲学甚至社会思想产生的深远影响。 然而，历史的车轮滚滚向前，当人们在欧几里得几何所构建的世界中沉醉时，一些数学家开始质疑其公理的绝对性，特别是平行公理。本书将详细阐述这一历史性的转折点。我们将一同经历科学家们对平行公理的“证明”尝试，以及最终导致非欧几何诞生的“失败”努力。洛巴切夫斯基、波尔约、高斯等先驱，如何在看似“不可能”的领域中，以非凡的勇气和洞察力，构建出逻辑自洽的非欧几何体系。我们将探讨双曲几何和椭圆几何的独特性质，例如三角形内角和不再是180度，平行线可能不再存在或存在多条。这些颠覆性的思想，在当时无疑是惊世骇俗的，但它们却深刻地揭示了空间并非是唯一的，而是可以具有多种可能的结构。 非欧几何的出现，不仅是对传统几何的挑战，更是对人类认识世界方式的深刻变革。本书将进一步探讨非欧几何与物理学的联系。爱因斯坦的广义相对论，正是建立在黎曼几何（尽管本书不直接讲解黎曼几何的具体内容，但其所引出的对弯曲空间的思想具有关联性）的思想基础之上。我们将尝试理解，为什么引力可以被描述为时空的弯曲，以及非欧几何如何成为描述宇宙大尺度结构的数学语言。这意味着，我们所经历的日常“平坦”空间，可能只是宇宙整体曲率在局部的一种近似。这种联系，将几何从纯粹的抽象思维领域，拉回到对我们所处现实世界的直接关怀。 除了对数学史和物理学关联的探索，《几何的沉思》还将引导读者审视几何的哲学含义。几何学的逻辑严谨性和普适性，使其成为哲学思考的沃土。我们将讨论柏拉图的“理念论”与几何学的关系，探讨几何图形是否是永恒不变的理念在现实世界中的不完美映射。同时，我们也将会看到，随着几何学的发展，其思想如何影响了康德的“先验直观”理论，以及它在现代哲学中扮演的角色。几何学的抽象性，也促使我们思考，数学的真理是否是独立于人类心智而存在的，还是由人类的认知结构所构建。 本书还将深入剖析几何学的核心概念，并以相对易懂的方式进行阐释，即便读者没有深厚的数学背景，也能体会到其精妙之处。我们将探讨“度量”的本质，以及不同度量方式如何定义出不同的几何空间。从欧几里得的距离，到非欧几何中更为复杂的度量，我们看到度量是刻画空间性质的关键。我们还会触及“拓扑学”的初步思想，虽然不是其核心内容，但会点明其关注的是空间在连续变形下的不变性质，例如一个咖啡杯和一个甜甜圈在拓扑学上是等价的。这种超越形状和度量的洞察，为我们理解空间提供了更宏观的视角。 此外，本书也会关注几何学在艺术、建筑乃至计算机图形学等领域的应用。古希腊的黄金分割，文艺复兴时期透视法的几何原理，现代建筑设计中对复杂曲面和结构的运用，以及虚拟现实中三维模型的构建，无不闪烁着几何的智慧。这些具体的应用案例，将几何学从高冷的学术殿堂拉回到我们日常生活的方方面面，让我们看到数学的抽象概念如何转化为创造力和实用性的源泉。 《几何的沉思》的写作风格，力求在严谨性与可读性之间取得平衡。我们避免使用过于艰深的技术术语，而是通过清晰的解释、生动的类比和历史故事，来引导读者理解复杂的概念。我们将通过对伟大数学家们思想轨迹的回溯，以及他们面对困境时的创新精神，来激励读者对知识的渴求。本书的目标，是激发读者对几何学的兴趣，培养他们对数学本质的理解，并最终提升他们对我们所处世界的洞察力。 在这本书中，读者不会找到关于某个特定几何定理的证明过程，也不会深入到某个分支的计算技巧。相反，我们希望构建的是一个宏观的视野，一个关于几何学如何从人类的实践中诞生，如何经历颠覆性的革命，如何与科学和哲学紧密相连，以及如何持续不断地影响我们对宇宙和自身的理解的叙事。我们邀请您，一同踏上这场“几何的沉思”之旅，去发现隐藏在空间形态背后的深刻规律，去感受数学思想的无穷魅力。这是一次关于空间、关于形式、关于逻辑、关于真理的深层探索，一次对人类智力极限的挑战，也是一次对我们赖以生存的现实世界更深层次的理解。

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