Scattering Theory for Automorphic Functions. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Peter D. Lax

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:1977-1-1

价格:USD 67.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780691081847

丛书系列:

图书标签:

• Scattering theory
• Automorphic functions
• Representation theory
• Spectral theory
• Harmonic analysis
• Number theory
• Mathematical physics
• Analysis
• Geometry
• Langlands program

《散射理论导论：自守函数的世界》 数学的宏伟殿堂中，自守函数（Automorphic Functions）宛如一颗颗璀璨的宝石，它们以其深刻的结构和与数论、几何学、表示论等众多领域的紧密联系，吸引着无数数学家探索的目光。而理解这些函数的核心，离不开一个强大的工具——散射理论（Scattering Theory）。本书《散射理论导论：自守函数的世界》正是为有意深入探索这一迷人领域的读者精心打造的入门指南，它将带领您穿越由自守函数编织的复杂网络，理解其中蕴含的深刻规律。 本书并非一套冷冰冰的公式汇编，而是一次引人入胜的数学旅程。我们不会直接跃入抽象的定义和定理，而是从一个更直观、更易于接受的角度出发，逐步揭示自守函数与散射理论之间的内在联系。想象一下，我们正站在一个广阔的数学景观前，自守函数是其中巍峨的山脉和奔腾的河流，而散射理论则是揭示这片景观如何形成的“地图”和“望远镜”。 第一部分：自守函数的初步探索 在正式进入散射理论之前，我们需要对自守函数有一个初步的认识。自守函数，顾名思义，它们在某些变换下保持“自守”，或者说具有一种特殊的对称性。这种对称性是理解它们的关键。 群论的基石： 自守函数与群论的概念息息相关。我们将从基础的群论知识出发，介绍离散群、几何群、以及更重要的，离散子群的概念。理解群的作用空间，以及在这些空间上定义的函数，是后续理解自守函数性质的基础。我们尤其会关注像模群（Modular Group）这样的经典例子，它们为自守函数的概念提供了最直观的样本。 黎曼面与复分析： 自守函数通常定义在黎曼面上，这是理解它们几何性质的关键。本书将简要回顾黎曼面的基本概念，以及复分析中与自守函数密切相关的部分，例如解析延拓、留数定理等。通过复分析的视角，我们可以更深入地理解自守函数的解析性质，以及它们在复平面上的行为。 第一批自守形式： 我们将介绍一些最基础的自守形式，例如模形式（Modular Forms）。通过这些具体例子，读者可以直观地感受到自守函数的“自守”特性，以及它们与整数、级数、以及几何形状之间的联系。我们将探讨模形式的级数展开，例如傅立叶展开，以及这些展开所揭示的深刻信息。 更广阔的世界： 除了模形式，我们还会触及更一般的自守函数和自守形式的概念，例如在更一般的群和更一般的流形上定义的。这部分旨在让读者初步了解自守函数领域的广阔性，为后续更深入的探讨打下基础。 第二部分：散射理论的逻辑框架 散射理论，在物理学中常用于描述粒子在势场中的相互作用，而在数学中，它提供了一种强大的分析工具，可以用来研究算子、微分方程、以及更一般的函数。将散射理论应用于自守函数，能够揭示函数结构的深层信息。 拉普拉斯算子与谱： 许多自守函数与黎曼面上的拉普拉斯算子（Laplacian）密切相关。本书将详细介绍黎曼面上的拉普拉斯算子，并探讨其谱（Spectrum）的概念。谱分析是理解算子性质的核心，它能够告诉我们算子的“可观察量”。 本征函数与离散谱： 在具有紧边（Compact Boundary）的流形上，拉普拉斯算子的本征函数构成了完备的正交基，它们的本征值构成了离散谱。我们将介绍这些本征函数与自守函数之间的联系，尤其是在紧黎曼面上。 连续谱与波： 对于非紧黎曼面，拉普拉斯算子除了离散谱，还可能存在连续谱。连续谱对应的本征函数可以看作是“波”或者“散射态”，它们描述了函数在无穷远处的行为。理解连续谱是理解自守函数在非紧区域行为的关键。 散射矩阵： 散射理论的核心概念之一是散射矩阵（Scattering Matrix）。散射矩阵描述了入射波如何转化为出射波，它包含了关于势场（或者在这里，关于流形结构和群作用）的全部信息。我们将介绍散射矩阵的概念，以及它在自守函数研究中的作用。 第三部分：散射理论与自守函数的交汇 这是本书的核心部分，我们将把前两部分的内容融会贯通，深入探讨散射理论如何为理解自守函数提供全新的视角和强大的工具。 离散群作用下的拉普拉斯算子： 自守函数的研究往往离不开在具有几何结构的黎曼面上定义的离散群。我们将分析在这些离散群作用下的黎曼面（例如，模曲面）上，拉普拉斯算子具有怎样的性质。这种作用会对算子的谱产生怎样的影响？ 波的散射与自守函数的性质： 连续谱对应的本征函数，即“散射态”，如何反映自守函数的性质？我们将探讨散射矩阵的构造，以及它如何与自守函数的傅立叶展开、以及在无穷远处的行为联系起来。 数论信息编码： 一个令人惊叹的事实是，自守函数的许多深刻的数论性质，例如与素数分布的联系，竟然能够通过散射矩阵的某些特定信息来捕捉。本书将初步探讨这种“数论信息编码”的思想，例如通过迹公式（Trace Formulas）等概念，来理解散射理论在数论中的应用前景。 特殊函数的联系： 自守函数与许多重要的特殊函数（例如，模函数、theta 函数）有着深刻的联系。我们将展示散射理论如何帮助我们理解这些特殊函数的性质，以及它们之间的关系。 案例研究与初步应用： 为了让读者更好地理解理论，本书将选取一些经典的案例进行深入分析。例如，我们将分析模群作用下的上半平面上拉普拉斯算子的散射理论，以及它如何揭示模函数的性质。我们还将初步探讨散射理论在研究L函数（L-functions）等数论对象中的应用潜力。 本书的目标读者： 本书面向的是具有一定数学基础的本科高年级学生、研究生，以及对自守函数、数论、几何分析、或表示论感兴趣的研究人员。 数学专业学生： 特别是那些在代数、分析、或几何方向有一定积累的学生，可以从中获得理解自守函数世界的新视角。 研究人员： 无论是在数论、表示论、还是几何学领域的研究者，都可以将本书作为进入自守函数与散射理论交叉领域的敲门砖。 对数学美学有追求的读者： 如果您喜欢探索数学深层结构中隐藏的规律和美感，那么这本书将为您带来一次难忘的智力体验。 学习本书的收获： 通过学习本书，您将： 建立对自守函数的直观理解： 不再仅限于抽象的定义，而是能够从几何和分析的角度理解它们的性质。 掌握散射理论的基本框架： 理解散射理论的核心概念，例如谱、散射矩阵，以及它们在分析数学问题中的作用。 认识散射理论在自守函数研究中的强大力量： 了解如何利用散射理论来分析自守函数的结构、性质，以及它们与数论、几何的深刻联系。 为进一步深入研究打下坚实基础： 本书将为您提供深入探索更高级课题（例如，L函数的谱理论、自动形式的表示论等）的必要知识和方法。 体会数学中的跨领域融合之美： 感受数论、几何、分析、表示论等不同数学分支如何通过自守函数与散射理论相互辉映。 《散射理论导论：自守函数的世界》诚邀您踏上这场激动人心的数学探索之旅。我们将一起揭开自守函数背后那层神秘的面纱，窥探隐藏在复杂结构中的数学智慧，并最终欣赏到散射理论这一强大工具所带来的深刻洞见。这是一次关于理解“对称”与“变换”如何塑造数学世界的旅程，一次关于探索“几何”与“分析”如何交织出数论奥秘的探险。

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