Elliptic Functions (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Komaravolu Chandrasekharan

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:1985-10-03

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540152958

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

• 数学
• 椭圆函数
• 复分析
• 高等数学
• 数学分析
• 微分几何
• 数论
• 代数几何
• 数学物理
• 经典数学

无尽之曲：椭圆函数的艺术与应用 在数学的广袤星空中，有一些概念如同璀璨的星辰，以其深邃的结构和广泛的联系，吸引着一代又一代的探索者。椭圆函数便是其中一颗耀眼的明珠。它不仅仅是抽象代数和分析学中的一个精密工具，更是连接几何、数论、物理学乃至工程学等众多领域的桥梁。本书将带领读者踏上一段探索椭圆函数丰富世界的旅程，揭示其优雅的数学构造，洞悉其深刻的内在联系，并领略其在解决实际问题中的强大力量。 一、 椭圆函数的起源与基本概念：超越圆周的韵律 我们对圆的熟悉，源于其简洁的定义——平面上到定点距离相等的点的集合。然而，当我们将研究的目光投向比圆更复杂的几何形状时，例如由两个焦点决定的椭圆，一个全新的数学领域便徐徐展开。我们不禁要问，能否找到一种函数，能够描述椭圆的弧长，或者说，能否将圆的三角函数概念推广到更广阔的范围内？ 椭圆函数的概念正是由此而来。其名字中的“椭圆”并非偶然，它最初的灵感确实来源于计算椭圆周长的问题。标准的三角函数，如正弦和余弦，可以看作是单位圆上点的坐标函数，它们与角度的变化有着天然的对应关系。而椭圆函数则是在一个更复杂的“周期性”结构上定义的，这个结构与椭圆的几何性质紧密相连。 理解椭圆函数，首先需要掌握其基本构造。它们本质上是周期函数，但与三角函数唯一的周期不同，椭圆函数拥有两个独立的周期。这使得它们在复平面上形成了一个更为精妙的“网格”结构。我们通常通过“魏尔斯特拉斯椭圆函数” $wp(z)$ 来介绍这一概念。这个函数是在复平面上，通过特定的“晶格”——由两个不共线的复数 $2omega_1$ 和 $2omega_2$ 生成的周期——来定义的。 $wp(z)$ 的定义方式可以追溯到对函数 $sum_{(m,n) eq (0,0)} frac{1}{(z - (2momega_1 + 2nomega_2))^2}$ 的求和。这个无穷级数经过精心的重排和处理，能够收敛并定义出一个在除晶格点外的整个复平面上解析的函数。而这个晶格结构，正是椭圆函数双周期性的根源。 另一个重要的椭圆函数是“雅可比椭圆函数”，它包含一组由参数 $m$ (或 $k^2$) 决定的函数，例如 $operatorname{sn}(u,m)$, $operatorname{cn}(u,m)$, $operatorname{dn}(u,m)$。这些函数与三角函数有着更直接的类比，它们之间的关系也更加丰富。例如，$operatorname{sn}(u,0) = sin(u)$，当参数 $m$ 趋于 0 时，雅可比椭圆函数就退化为普通的三角函数，这清晰地展示了椭圆函数对三角函数的自然推广。 二、 椭圆函数的结构与性质：解析的舞蹈与代数的和谐 一旦我们熟悉了椭圆函数的基本定义，就会发现它们拥有令人惊叹的数学结构。这些结构不仅体现在它们的定义方式上，更体现在它们丰富的性质和潜在的联系中。 1. 双周期性与基本区域： 如前所述，椭圆函数拥有两个独立的周期 $2omega_1$ 和 $2omega_2$。这意味着，对于任何复数 $z$ 和整数 $m, n$，都有 $wp(z + 2momega_1 + 2nomega_2) = wp(z)$。这两个周期定义了一个“基本区域”，通常是一个平行四边形，在这个区域内，椭圆函数取到所有可能的值。晶格结构将整个复平面分割成无数个这样的基本区域，并且在每个区域内，函数的行为都是相同的。 2. 奇点与零点： 椭圆函数在晶格点处具有极点，而且是二阶极点。例如，$wp(z)$ 在 $z = 2momega_1 + 2nomega_2$ 处有二阶极点。同时，椭圆函数也存在零点，它们的分布也与晶格结构有着深刻的联系。例如，$wp(z)$ 在晶格的“中心”处（例如，如果晶格是由 $omega_1$ 和 $omega_2$ 生成，则在 $omega_1$ 和 $omega_2$ 处）取值为无穷大，而在其“一半”处（例如，在 $omega_1/2$ 或 $omega_2/2$ 处）为零。 3. 傅立叶展开： 椭圆函数可以被表示为无穷级数，特别是其傅立叶展开，揭示了它们与正弦余弦函数的内在联系。这些展开不仅是理论上的工具，更是计算和理解椭圆函数行为的重要手段。例如，魏尔斯特拉斯椭圆函数 $wp(z)$ 可以表示为： $$wp(z) = frac{1}{z^2} + sum_{(m,n) eq(0,0)} left( frac{1}{(z - (2momega_1 + 2nomega_2))^2} - frac{1}{(2momega_1 + 2nomega_2)^2} ight)$$ 而其傅立叶展开形式则更加直观地展示了其周期性和与三角函数的关联。 4. 关系式与恒等式： 椭圆函数之间存在着丰富而复杂的代数关系和恒等式。例如，雅可比椭圆函数之间存在着类似于勾股定理的恒等式：$operatorname{sn}^2(u,m) + operatorname{cn}^2(u,m) = 1$。此外，它们还满足一系列微分方程，其中最著名的是魏尔斯特拉斯椭圆函数的微分方程： $$(wp'(z))^2 = 4(wp(z))^3 - g_2 wp(z) - g_3$$ 其中 $g_2$ 和 $g_3$ 是与晶格相关的常数。这个方程表明，椭圆函数是某些三次方程的解。 5. 模形式与椭圆曲线： 椭圆函数与模形式之间有着深远的联系。模形式是一类在复上半平面上定义的函数，它们具有特殊的变换性质，并且与数论中的许多重要问题紧密相关。椭圆函数可以被视为定义在更复杂的“复环面”上的函数，而这些复环面与椭圆曲线有着密切的关系。椭圆曲线是在代数几何中研究的重要对象，它们的群律运算可以通过椭圆函数来刻画。 三、 椭圆函数的应用：从古代测量到现代科技 椭圆函数的数学之美并不仅仅停留在理论层面，它们在众多科学和工程领域中都展现出强大的实用价值。 1. 几何测量与积分： 椭圆函数的起源本身就与几何测量有关。计算椭圆的周长、弧长等问题，最终可以归结为求解特定形式的不定积分，而这些积分被称为“第一类椭圆积分”和“第二类椭圆积分”。例如，求解椭圆周长的积分就是第二类椭圆积分。通过椭圆函数的反演，我们可以将这些积分与雅可比椭圆函数联系起来，从而得到精确的计算方法。 2. 物理学中的应用： 弹簧振动与摆的运动： 在描述受力不均匀的振动系统时，例如非简谐振动的弹簧振子，或者摆长变化等情况，其运动方程的解可能涉及椭圆函数。 电磁学： 在求解某些复杂的电磁场分布问题时，椭圆函数也会出现，尤其是在处理具有周期性边界条件或特定对称性的系统时。 流体力学： 在某些流体动力学问题中，例如流体在复杂形状通道中的流动，椭圆函数可以用来描述流场的分布。 量子力学： 在某些量子力学问题中，尤其是在处理周期性势场或者与晶格结构相关的系统时，椭圆函数也扮演着重要角色。 3. 数论中的应用： 二次型方程的求解： 椭圆函数在研究丢番图方程（整数解方程）方面有着重要的作用。特别是与数论中著名的“费马大定理”相关的研究，以及对更一般形式的椭圆曲线上的整数点进行研究，都离不开椭圆函数及其性质。 高斯整数与二次域： 椭圆函数与高斯整数环以及更一般的代数数域中的算术运算有着深刻的联系。 4. 工程技术中的应用： 信号处理： 在设计和分析某些滤波器以及调制解调技术时，椭圆函数的特性可以被利用来优化信号的传输和恢复。 控制理论： 在设计复杂的反馈控制系统时，系统的稳定性分析和性能优化有时会涉及到椭圆函数。 机械设计： 在某些特定的机械结构设计中，例如需要精确模拟周期性运动或者复杂轨迹的部件，椭圆函数可以提供数学上的支撑。 结语： 椭圆函数，以其独特的双周期性、丰富的代数结构和跨越多个学科的应用，构成了数学世界中一个令人着迷的篇章。从对古代几何问题的探索，到现代科学技术的尖端应用，椭圆函数始终以其深邃的洞察力和强大的工具性，不断拓展着我们对世界的理解。本书的编写旨在提供一个清晰、全面且深入的视角，引导读者领略椭圆函数的数学之美，掌握其核心概念与方法，并激发在各个领域中应用这些优雅工具的灵感。这是一次探索无尽之曲的旅程，一次揭示数学与现实世界深刻联系的探险。

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