K-Theory of Finite Groups and Orders (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Richard G. Swan

出品人:

页数:237

译者:

出版时间:1970-01-01

价格:USD 46.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540049388

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 数学
• K-理论
• 有限群
• 群论
• 代数拓扑
• 数学
• 讲义
• 高等教育
• 数学物理
• 代数
• 拓扑学

有限群与序的K-理论：一段穿越代数抽象核心的探索之旅 本书《K-Theory of Finite Groups and Orders》深入探讨了数学的两个核心分支——代数与拓扑——的交汇点，特别是K-理论在有限群和代数整数环（或称“序”）上的应用。这是一本面向深入研究的读者的著作，它不仅仅是概念的罗列，更是一次引领读者穿越代数抽象核心的结构化旅程。从抽象的群论基础到具体的同调代数工具，再到K-理论光谱的搭建，本书层层递进，为理解有限结构的深刻代数性质提供了强大的分析框架。 本书的叙述严谨而富有逻辑性，从K-理论的起点——作为对环及其模论的代数不变量——出发，逐步引申到有限群的表示论以及与之紧密相关的序的K-理论。我们将看到K-理论如何捕捉并量化这些代数对象的“形状”和“结构”，即使是在高度抽象的层面上。 第一部分：奠定基础——抽象代数与K-理论的黎明 开篇，本书会重新审视群论与环论的基本概念，为后续的深入探讨打下坚实基础。这并非简单的回顾，而是以K-理论的视角来审视这些基础概念，强调其内在联系和潜在的研究价值。例如，有限群的定义、其子群、正规子群、同态以及群的结构（如循环群、对称群、阿贝尔群等）都会被提及。同样，环的定义、单位环、交换环、理想、商环以及模论的基础知识，如模的定义、子模、商模、投射模、内射模等，也将得到梳理。 紧接着，本书将引入K-理论的初探。K-理论最早是作为拓扑学中同伦群的代数对应物出现的，后来发现其在代数中的巨大潜力。在这里，我们将接触到经典的K-理论，即指交换环的K-理论。具体来说，我们将学习如何构造K_0（R）和K_1（R），其中R是一个交换环。K_0（R）通过投射R-模的同构类来定义，它本质上是在模范畴内对“大小”进行计数和分类的一种方式。K_1（R）则与环的单位群GL_n（R）及其稳定性有关。本书将详细介绍这些构造背后的动机，以及它们如何提供关于环的深刻信息，这些信息在纯粹的代数方法中可能难以获得。 第二部分：有限群的K-理论——表示与不变量 本书的核心内容之一便是有限群的K-理论。这里的K-理论不再局限于交换环，而是扩展到非交换的情形，特别是与群环（group ring）相关的K-理论。群环是一类重要的代数结构，它将群的结构与环的结构结合起来，是研究有限群表示论的重要工具。 本书将重点关注有限群G的整K-理论，即K-理论是在整系数群环Z[G]上定义的。我们将学习如何定义和计算ZG的K_0和K_1。ZG的K_0（ZG）是一个重要的代数不变量，它与群G的表示理论有着深刻的联系。具体而言，K_0（ZG）包含了关于ZG上的投射模的信息，而这些投射模与G的不可约表示的模之间存在微妙的关系。本书将深入探讨Burnside环以及其与ZG的K_0之间的联系，展示如何利用K-理论来理解和分类有限群的表示。 此外，本书还会涉及一些高级概念，如群的代数K-理论（Algebraic K-theory of groups），这是一种更广泛的K-理论框架，可以应用于任何环，包括群环。我们将了解更复杂的K-群K_n（ZG），它们提供了关于ZG的模范畴更丰富的信息。 第三部分：序的K-理论——代数整数环的结构洞察 “序”（order）在代数数论和代数群论中扮演着至关重要的角色。一个序是一个局部化的环（通常是在代数整数环或数域的整数环上），它允许我们研究有限生成代数结构。例如，代数整数环（如Z）上的一个有限维代数的一个序，是一个子环，它在一个数域的整数环上的“模”意义下生成整个代数。 本书将详细阐述序的K-理论，特别是Z_S[G]（其中Z_S是某个素数集合S之外的整系数环）上的序以及数域的整数环O_K上的序。对于这些序，K-理论提供了一种研究其模论的强大工具。我们将学习如何构造并计算这些序的K_0。K_0（Λ），其中Λ是一个序，会提供关于Λ上的投射模的信息。这与有限群的K-理论有着密切的联系，因为许多序本身就与群论结构有关，例如，有限群G的整系数群环ZG本身就是一个序（在Q[G]中）。 本书将探讨序的K-理论如何解决一些经典问题，例如，关于某些代数结构是否存在自由模或半单模的问题。我们将看到K_0（Λ）如何捕捉到关于Λ的“可分解性”和“结构性”的重要信息。 第四部分：工具与技术——同调代数与谱序列 为了深入理解K-理论，掌握一些关键的同调代数工具是必不可少的。本书将介绍一些与K-理论构建和计算相关的基本同调代数概念，例如，伴随函子、导出范畴、长正合序列等。 此外，本书还会引入谱序列（spectral sequences）这一强大的工具。谱序列是代数拓扑和同调代数中的一种复杂但极其有效的计算方法，常用于计算K-群。我们将学习如何构建和应用一些与K-理论相关的谱序列，例如，Grothendieck谱序列，它将投射模的K-理论与商模的K-理论联系起来。通过这些谱序列，我们可以将复杂K-群的计算分解为一系列更易处理的步骤。 第五部分：联系与应用——K-理论在数学中的广阔视野 本书的结尾部分将聚焦于K-理论在更广阔数学领域中的联系和应用。我们将看到，有限群和序的K-理论不仅仅是抽象代数中的一个课题，它还与代数几何、代数拓扑、表示论甚至数论有着深刻的联系。 例如，K-理论在定义和研究代数向量丛（algebraic vector bundles）中扮演着关键角色，而代数向量丛是代数几何中的基本对象。在代数拓扑中，K-理论的奇偶性（K-theory of spaces）与同伦理论有着深刻的对偶性。 本书还会简要提及一些前沿研究方向，为读者提供进一步探索的线索。这可能包括p-adic K-theory、Motivic K-theory等更高级的K-理论理论，以及K-理论在特定类型群或序中的具体计算。 总而言之，《K-Theory of Finite Groups and Orders》是一部系统而深入的著作。它不仅仅是 K-理论的介绍，更是 K-理论作为一种强大分析工具，在研究有限群和代数整数环的结构时所展现出的无尽魅力。本书适合研究生、博士后以及对代数理论有浓厚兴趣的研究人员。通过对本书的学习，读者将获得对抽象代数深层次理解，并能够运用 K-理论的语言来描述和分析复杂的代数对象。它是一扇门，引领读者进入代数世界一个充满活力的研究前沿。

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