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出版者:

作者:张学奇 编

出品人:

页数:138

译者:

出版时间:2010-4

价格:10.00元

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isbn号码:9787300118970

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《解析几何的世界：从点到空间的几何透视》 本书是一部献给几何爱好者和初学者的探索之旅，它将带领读者深入解析几何的奇妙领域，从最基础的点、线、面概念出发，逐步构建起一个立体的几何认知框架。我们摒弃了枯燥的公式堆砌，转而采用直观的几何直观和严谨的逻辑推理相结合的方式，力求让每一位读者都能领略解析几何的魅力，掌握其核心思想和方法。 第一章：平面上的坐标系统与点 万丈高楼平地起，解析几何的基石便是坐标系统。本章我们将从最简单的二维平面出发，引入笛卡尔坐标系的概念。我们不仅仅是定义x轴和y轴，而是要理解它们是如何将无限的空间“切割”成有序的区域，以及点（x, y）是如何精确地“定位”在平面上的。我们会通过一系列生动形象的例子，比如地图上的经纬度、棋盘上的方格，来加深对坐标概念的理解。 坐标系的引入： 为什么需要坐标系？它解决了什么问题？我们将回顾历史，了解笛卡尔的伟大构想是如何改变我们认识空间的方式。 点的坐标表示： 如何通过一对数字唯一确定平面上的一个点？我们将探讨点与坐标的“一一对应”关系，并练习在坐标系中标绘给定的点。 两点间的距离公式： 这是解析几何中最基础也最重要的公式之一。我们将通过勾股定理，从几何直观上推导出距离公式，并理解其在解决实际问题中的应用，比如计算建筑物之间的直线距离。 线段的中点公式： 如何找到连接两点的线段的中点？我们将通过简单的代数运算和几何平均的思想，推导出中点坐标的计算方法。 其他相关概念： 还会简要介绍分点公式，为后续更复杂的几何问题打下基础。 第二章：直线在平面上的表达与性质 在平面上，直线是最基本的几何图形之一。本章我们将探索如何用代数的方式来描述直线，以及如何通过代数方程来研究直线的几何性质。 直线的斜率： 斜率是描述直线倾斜程度的重要参数。我们将深入理解斜率的几何意义，即“纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值”。我们将讨论正斜率、负斜率、零斜率以及无穷斜率（垂直线）的情况，并通过实例来体会斜率在实际中的应用，例如道路的坡度。 直线的方程形式： 点斜式： 已知一点和斜率，如何写出直线方程？我们将通过斜率的定义进行推导。 斜截式： y = mx + b，其中b的几何意义是什么？我们将理解截距的概念，以及它如何帮助我们快速识别直线。 两点式： 已知两点，如何写出直线方程？我们将利用斜率和点斜式进行推导。 截距式： x/a + y/b = 1，a和b分别代表什么？我们将理解截距式在表示经过坐标轴上的点时的便利性。 一般式： Ax + By + C = 0，这是最普遍的直线方程形式。我们将学习如何将其他形式的直线方程转化为一般式，以及如何从一般式中提取斜率和截距等信息。 两条直线的位置关系： 平行： 如何判断两条直线平行？我们将通过斜率相等来判断，并结合截距来区分重合与平行。 相交： 如何求两条直线的交点？我们将通过联立直线方程组来求解，并理解交点坐标的几何意义。 垂直： 如何判断两条直线垂直？我们将深入理解“两直线垂直，斜率之积为-1”的充要条件，并思考为什么会出现这个规律。 点到直线的距离： 这是一个重要的应用问题。我们将通过向量的投影或构造垂线等方法，推导出点到直线的距离公式，并了解其在计算距离、判断点与直线关系等方面的应用。 直线束： 介绍通过一个固定点P的直线系，及其在解决特定几何问题中的作用。 第三章：圆的标准方程与基本性质 圆是平面上最常见也最迷人的曲线之一。本章我们将学习如何用代数方程精确地描述圆，并探究圆的几何特性。 圆的标准方程： 为什么说(x-a)² + (y-b)² = r² 是圆的标准方程？我们将通过圆的定义——到圆心的距离等于半径——并结合两点间的距离公式进行推导。理解(a, b)是圆心坐标，r是半径。 圆的一般方程： 将标准方程展开，我们会得到一个关于x和y的二次方程。我们将学习如何将圆的一般方程配方，还原为其标准方程，从而确定圆心和半径。 圆的几何性质： 圆心与半径： 如何从方程直接读出圆心和半径？ 点与圆的关系： 如何判断一个点在圆内、圆上还是圆外？我们将通过比较点到圆心的距离与半径的大小来实现。 直线与圆的位置关系： 相交（弦）： 直线与圆有两个交点。 相切（切线）： 直线与圆只有一个交点。我们将学习切线方程的求法，并理解切线的判定条件（判别式法或点到圆心的距离等于半径）。 相离： 直线与圆没有交点。 圆与圆的位置关系： 相交、相切、相离、内含： 如何通过圆心距和两圆半径的大小关系来判断？我们将详细分析各种情况。 公共弦与公切线： 简单介绍这些概念及其在几何问题中的应用。 第四章：二次曲线的初步认识——椭圆、双曲线与抛物线 除了直线和圆，平面上还有一系列更加丰富多彩的曲线，它们被称为二次曲线，在物理学、天文学和工程学中扮演着重要角色。本章我们将初步认识椭圆、双曲线和抛物线，理解它们的几何定义和标准方程。 椭圆： 定义： 平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于一个常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹。我们将用几何语言解释这个定义。 标准方程： x²/a² + y²/b² = 1。我们将分析a、b、c（半焦距）之间的关系，理解长轴、短轴、焦点的位置。 离心率： e = c/a，它如何反映椭圆的扁平程度？ 简单应用： 提及如行星轨道、声学回声等。 双曲线： 定义： 平面上到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于一个常数（小于两焦点间距离）的点的轨迹。 标准方程： x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/a² - x²/b² = 1。我们将分析其渐近线、顶点、离心率等性质。 简单应用： 提及如雷达定位、天体运动等。 抛物线： 定义： 平面上到一条定直线（准线）和一个定点（焦点）的距离相等的点的轨迹。 标准方程： y² = 2px 或 x² = 2py。我们将理解顶点、焦点、准线的位置关系，以及p的几何意义。 简单应用： 提及如卫星天线、射弹轨迹等。 第五章：空间直角坐标系与点 我们将视野从平面拓展到三维空间。本章我们将引入三维空间的坐标系，并学习如何在三维空间中定位点。 空间直角坐标系的建立： 三条互相垂直的数轴（x轴、y轴、z轴）如何构成三维空间？我们将理解右手螺旋法则，以及坐标平面（xy平面、yz平面、xz平面）如何将空间分割。 空间点的坐标表示： 如何用三个有序数 (x, y, z) 来唯一确定空间中的一个点？我们将练习在三维坐标系中标绘点。 空间两点间的距离公式： 类似于平面上的距离公式，我们将通过勾股定理的扩展，推导出空间两点间的距离公式。 空间线段的中点公式： 同样，我们将推导出空间线段中点的坐标计算方法。 第六章：空间直线与方程 在三维空间中，直线的表示比平面上更为复杂，但同样可以通过代数方程来刻画。 空间直线的参数方程： 引入一个方向向量和一个点，如何用参数方程来表示空间中的一条直线？我们将理解参数t的意义，以及它如何控制点在直线上的移动。 空间直线的对称式方程： 从参数方程出发，我们推导出对称式方程，并理解其形式。 两条空间直线的位置关系： 平行： 方向向量平行。 相交： 方向向量不平行，且存在交点。 异面： 方向向量不平行，且不存在交点。我们将学习如何判断这三种情况。 异面直线间的距离： 这是一个相对复杂的概念，我们将介绍求解异面直线间最短距离的方法，以及其在实际问题中的意义。 第七章：空间平面与方程 平面是三维空间中最基本也是最重要的几何元素之一。本章我们将学习如何用代数方程来描述平面，并研究平面的性质。 平面的方程（点法式）： 引入平面的法向量，以及平面上一个已知点，如何写出平面的方程？我们将理解法向量的作用，以及它与平面垂直的关系。 平面的方程（一般式）： Ax + By + Cz + D = 0。我们将学习如何从一般式中提取平面的法向量，并理解系数A, B, C, D的几何意义。 特殊位置的平面： 比如平行于坐标平面的平面，通过坐标轴的平面等。 两平面位置关系： 平行： 法向量平行。 相交： 法向量不平行，相交形成一条直线（交线）。我们将学习如何求两条平面的交线方程。 垂直： 法向量垂直（点积为零）。 点到平面的距离： 类似于点到直线的距离，我们将推导出点到平面的距离公式，并理解其应用。 第八章：空间曲面初步 在三维空间中，除了平面，还有各种各样的曲面。本章我们将初步接触一些重要的空间曲面，如球面、柱面、锥面等。 球面的方程： 类似于平面上的圆，我们将推导出球面的标准方程，并理解球心和半径的意义。 柱面： 解释何为柱面，以及如何用方程描述常见的柱面，如圆柱面、抛物柱面等。 锥面： 解释何为锥面，以及如何用方程描述常见的锥面，如圆锥面。 二次曲面： 简要介绍如椭球面、双曲抛物面、椭圆抛物面等，展示三维空间几何的丰富多彩。 本书特色： 强调几何直观： 每一处公式的推导都力求结合清晰的几何图形和直观的理解，避免纯粹的抽象计算。 循序渐进的难度： 从基础概念到复杂问题，章节之间衔接自然，引导读者逐步深入。 丰富的例题与习题： 大量精选的例题贯穿全书，帮助读者理解概念和方法。每章末尾附有不同难度的习题，供读者巩固和提升。 联系实际应用： 在介绍几何概念时，适当融入实际生活和科学技术中的应用，激发读者的学习兴趣。 通过学习本书，您将能够： 熟练掌握平面和空间直角坐标系的应用。 理解并运用直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的代数方程。 掌握空间直线与平面的方程及它们之间的位置关系。 初步认识并理解各种空间曲面的基本性质。 培养严谨的数学思维和解决几何问题的能力。 本书适合高中生、大学生以及所有对解析几何感兴趣的读者。无论您是希望打下坚实的数学基础，还是希望在工程、物理、计算机图形学等领域有所建树，本书都将是您不可或缺的良师益友。让我们一起走进解析几何的奇妙世界，用数学的语言去理解和描绘我们所处的空间！

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