Introduction to Differential Geometry and Riemannian Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:University of Toronto Press

作者:Erwin Kreyszig

出品人:

页数:382

译者:

出版时间:1969-4

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780802015013

丛书系列:

图书标签:

• Math
• 微分几何
• 黎曼几何
• 几何学
• 拓扑学
• 数学
• 高等数学
• 流形
• 曲面
• 张量
• 几何分析

抽象代数与范畴论导论 本书旨在为读者提供一个扎实的抽象代数基础，并在此基础上引介范畴论的核心概念。我们将从群论的基石出发，深入探讨各种重要的群结构，如循环群、对称群、自由群及其表示。随后，我们将转向环与域的理论，研究多项式环、整环、域的扩张等关键概念。接着，我们将进入模论，这是线性代数在更一般环上的推广，我们将学习模的结构定理、射影模、内射模等。 作为连接不同代数结构的关键工具，范畴论将在本书的后半部分占据重要地位。我们将从范畴、函子、自然变换这些基本概念入手，逐步理解范畴论的威力。我们将学习积、余积、核、上核、像、余像等范畴论中的基本构造，并探讨它们的性质。接着，我们将深入研究伴随函子，这是范畴论中极其重要且富有洞察力的概念，它揭示了不同范畴之间深刻的联系。最后，我们将初步涉足更高级的范畴论概念，如代数几何中的概形、拓扑学中的同调代数等，展示范畴论在现代数学各个分支中的广泛应用。 本书的特点在于其严谨性、系统性以及从具体到抽象的过渡。我们强调数学的内在逻辑与美感，力求让读者在掌握抽象概念的同时，不失对具体数学对象的直观理解。书中包含大量的例题、练习题以及一些引导性的思考题，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养独立思考和解决问题的能力。 第一部分：群论基础 第一章：群的概念与基本性质 二元运算、半群、幺半群。 群的定义与例子：整数加法群，非零有理数乘法群，对称群，矩阵群。 群的阶，子群的定义与性质。 拉格朗日定理：群的子群的阶整除群的阶。 陪集与拉格朗日定理的证明。 正规子群与商群的定义。 同态与同构的定义。 第一同构定理（同态基本定理）：商群与像之间的同构。 第二章：特殊类型的群 循环群：生成元、阶、子群结构。 有限生成阿贝尔群：结构定理及其证明。 对称群 $S_n$：置换的乘法，对合，轮换，符号，交错群 $A_n$。 自由群：生成元与关系，自由群的普遍性质。 群的表示：从群到矩阵群的映射，矩阵表示的定义与性质。 第二部分：环、域与模论 第三章：环与域 环的定义与例子：整数环 $mathbb{Z}$，多项式环 $R[x]$，矩阵环 $M_n(R)$。 单位元、零因子、整环。 理想的定义与性质：左理想、右理想、双边理想。 商环的构造。 环的同态与同构。 第一同构定理在环上的应用。 域的定义与例子：有理数域 $mathbb{Q}$，实数域 $mathbb{R}$，复数域 $mathbb{C}$。 域的子域，域的扩张。 第四章：模论初步 模的定义：左模、右模、双边模（在交换环上）。 模的子模、商模、模的直和与直积。 模同态与模同构。 模的基与秩（针对自由模）。 射影模、内射模的定义与基本性质。 自由阿贝尔群作为模的例子。 第三部分：范畴论导论 第五章：范畴、函子与自然变换 范畴的定义：对象、态射、复合、恒等态射。 范畴的例子：集合范畴 Set，群范畴 Grp，拓扑空间范畴 Top，向量空间范畴 Vect$_k$。 小范畴、具体范畴。 函子的定义：协变函子与逆变函子。 函子的例子：幂集函子，自由群函子，遗忘函子。 自然变换的定义：态射的“簇”，自然性条件。 自然同构。 第六章：范畴论中的基本构造 终对象与始对象。 积与余积：在 Set 和 Vect$_k$ 中的具体体现。 核 (Kernel) 与上核 (Cokernel)：在 Grp 和 Vect$_k$ 中的定义与性质。 像 (Image) 与余像 (Coimage)。 等化子 (Equalizer) 与余等化子 (Coequalizer)。 单态射 (Monomorphism) 与群局 (Epimorphism)，以及它们的性质（在不同范畴中的区别）。 第七章：伴随函子 伴随函子的定义：左伴随与右伴随。 伴随函子的例子： 遗忘函子 $U: mathbf{Grp} o mathbf{Set}$ 与自由群函子 $F: mathbf{Set} o mathbf{Grp}$。 有限集上的幂集函子 $P: mathbf{Set} o mathbf{Set}$ (逆变) 与笛卡尔积函子 $Delta: mathbf{Set} o mathbf{Set}$。 代数结构之间的伴随关系。 伴随函子与范畴论中其他构造的关系。 伴随函子的重要性：它们如何捕捉数学结构之间的“最佳”对应。 第八章：范畴论的应用与展望 同调代数简介：链复形、同调群，作为范畴论的引申。 代数几何中的概形：范畴论如何提供一种统一的语言来描述几何对象。 拓扑学中的同伦论与同调论。 范畴论作为“数学的数学”的意义。 本书内容的总结与进一步学习的建议。 本书的写作风格力求清晰、易懂，同时又不失数学的严谨性。我们相信，通过对抽象代数和范畴论的深入学习，读者将能够建立起一个强大而灵活的数学思维框架，为进一步探索更广阔的数学领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆