Algebraic Geometry 1 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Kenji Ueno

出品人:

页数:168

译者:

出版时间:1999-11

价格:USD 29.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821808627

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

数学
代数几何
Math
代数几何
代数簇
射影空间
概形
层论
同调代数
交换代数
数论几何
代数拓扑
编码理论

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具体描述

《代数几何 I》是一本旨在深入浅出地介绍代数几何核心概念与方法的学术专著。本书面向具有扎实抽象代数和点集拓扑学基础的读者，如研究生和高年级本科生，为他们打开代数几何这一联系几何与代数的宏伟世界。全书围绕着代数簇（algebraic varieties）这一中心对象展开。作者从最基础的仿射代数簇（affine algebraic varieties）入手，通过多项式方程组的几何解释，直观地引入簇的概念。在此基础上，本书系统地阐述了理想（ideals）与代数簇之间的深刻对偶关系，即希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz），这是代数几何的基石之一。读者将学习如何利用环论的工具来研究几何对象，例如，理解主理想（principal ideals）对应于超曲面（hypersurfaces）的几何意义，以及如何通过商环（quotient rings）来刻画代数簇的子簇（subvarieties）。本书的第二大部分转向更一般、更灵活的射影代数簇（projective algebraic varieties）。通过引入齐次坐标（homogeneous coordinates）和齐次理想（homogeneous ideals），读者将理解如何将代数簇嵌入到射影空间（projective space）中，并学习射影簇的定义和基本性质。此处，本书将深入探讨射影簇的稠密性（density）、闭包（closure）等概念，并揭示其在研究非奇异簇（non-singular varieties）时的重要性。为了更系统地处理代数簇的局部性质，本书引入了概形（schemes）这一更为抽象但强大的框架。虽然本书主要关注的是经典的代数簇，但为了给读者打下坚实的基础，作者会适时地引入概形论的一些基本思想，例如环的概念如何在几何上得以推广。本书将重点讲解局部环（local rings）的概念，以及如何利用局部性质来理解全局的几何结构。贯穿全书的是对各种重要代数结构和几何工具的详细介绍。例如，本书将详细阐述整域（integral domains）、域（fields）、代数闭域（algebraically closed fields）在代数几何中的作用。读者将学习如何利用这些工具来判断代数簇的不可约性（irreducibility）和维度（dimension）。代数几何的研究离不开对代数簇的性质进行量化和分类。本书将引入诸如维数（dimension）、基点（base locus）、奇点（singularities）等核心概念，并探讨如何利用代数工具来计算和刻画它们。例如，关于代数簇的维度，本书会提供不同的定义及其等价性证明，并展示如何在实际问题中计算维度。在工具层面，本书将花费大量篇幅介绍多项式环（polynomial rings）、理想理论（ideal theory）、模（modules）等代数结构。读者将学习如何运用格勒布纳基（Gröbner bases）等计算代数工具来解决具体的几何问题，如判断理想是否包含某个多项式，或计算代数簇的交集。此外，本书还将触及代数簇的一些基本几何不变量，例如连通性（connectedness）、光滑性（smoothness）以及算术几何中一些初步的构造。虽然本书不涉及黎曼曲面（Riemann surfaces）或更高级的复代数几何，但其介绍的代数工具和思想对于理解这些更深层次的课题至关重要。《代数几何 I》的写作风格严谨而清晰，每一步推理都力求详尽。书中包含大量的例证和习题，旨在帮助读者巩固理论知识，并初步尝试应用所学工具解决问题。通过本书的学习，读者将建立起代数几何的坚实基础，为进一步探索代数几何的广阔领域打下坚实的基础，并能理解代数几何如何为数论、密码学、表示论乃至物理学等多个领域提供强大的理论支持。本书尤其强调代数与几何之间的内在联系，鼓励读者从这两个角度同时思考问题，从而获得更深刻的理解。