Approximation of Elliptic Boundary-Value Problems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Krieger Pub Co

作者:Jean-Pierre Aubin

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1980-03

价格:USD 38.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898740776

丛书系列:

图书标签:

数值分析
有限元方法
偏微分方程
边界值问题
椭圆型方程
近似理论
数值解
科学计算
数学分析
应用数学

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具体描述

《椭圆型边值问题近似方法》本书深入探讨了求解椭圆型偏微分方程边值问题的各类近似方法。椭圆型方程及其边值问题在物理学、工程学、经济学等众多学科领域中扮演着核心角色，它们广泛应用于描述稳态现象，如热传导、流体动力学中的稳态流动、弹性力学中的应力分布以及电磁场的静态分布等。然而，许多实际问题产生的椭圆型方程往往缺乏解析解，或者解析解形式过于复杂，难以直接应用。因此，开发和研究高效、准确的数值近似方法显得尤为重要。本书系统地梳理和介绍了当前最常用且最具影响力的求解椭圆型边值问题的近似方法。我们聚焦于那些在理论分析和实际应用中都得到广泛验证的技巧。首先，本书将详细阐述有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。这种方法通过将微分方程在离散化的网格点上用差商来近似导数，从而将偏微分方程转化为一个代数方程组。我们将从最基础的一维问题入手，逐步过渡到二维、三维问题，并深入讨论不同阶数的差分格式（如中心差分、向前差分、向后差分）的构造及其精度分析。此外，还会探讨网格的剖分策略、边界条件的离散化处理，以及由此产生的代数方程组的求解技术，包括直接法和迭代法。对于复杂几何区域，有限差分法的适应性及其改进方法也将有所提及。其次，本书将重点介绍有限元法（Finite Element Method, FEM）。有限元法是一种更为强大且广泛应用于处理复杂几何形状和边界条件的数值方法。其核心思想是将整个求解区域剖分成许多小的、形状简单的子区域，称为单元。在每个单元内，用一组基函数（通常是多项式）来近似未知解，然后利用弱形式或者变分原理，将偏微分方程转化为一个大型稀疏代数方程组。本书将详尽讲解有限元法的基本步骤，包括区域剖分、单元选择（例如，线性、二次等单元）、基函数构造、弱形式的建立、质量矩阵和载荷向量的组装，以及最终代数方程组的求解。特别地，我们将深入探讨与有限元法相关的数学基础，如Sobolev空间理论、插值不等式以及误差估计，这些是理解有限元法稳定性和收敛性的关键。对于不同类型的椭圆型问题（如泊松方程、亥姆霍兹方程、弹性力学方程等），有限元法的具体应用和特殊考量也将进行分析。除了上述两种主流方法，本书还将介绍一些其他重要的近似技术。例如，谱方法（Spectral Methods），这类方法在高精度要求且问题区域规则的情况下表现出色，通过将解展开为全局的正交函数系（如傅里叶级数、切比雪夫多项式）来求解。本书将探讨其基本原理、不同类型的谱方法（如伪谱法、谱元法）以及在特定问题上的应用潜力。此外，本书还会涉及边界元法（Boundary Element Method, BEM），它仅需对边界进行离散化，从而大大减小了计算量，尤其适用于求解具有无穷远边界的问题。本书将介绍其基本思想、如何利用格林函数或基本解将边值问题转化为积分方程，以及边界积分方程的离散化求解。对于所有介绍的方法，本书都将强调误差分析与收敛性研究。精确的误差估计是评估数值方法可靠性的基石。我们将讨论不同方法的误差来源，例如截断误差、离散化误差、数值积分误差等，并介绍如何通过数学工具（如稳定性分析、一致性分析）来证明方法的收敛性，即当网格细化或基函数阶数提高时，数值解如何趋近于真实解。本书也关注求解大规模线性代数方程组的技术。有限差分法、有限元法等最终都会归结为求解大型稀疏线性系统。因此，本书将回顾和介绍高效的求解算法，包括直接法（如LU分解、Cholesky分解）的某些优化版本，以及迭代法（如Jacobi法、Gauss-Seidel法、共轭梯度法、广义最小残差法等）的原理、收敛条件和实际应用技巧。对于大规模问题，预条件技术的重要性也将被凸显。在内容编排上，本书力求理论严谨与实践应用相结合。每个章节都将包含清晰的定义、详实的推导、丰富的算例以及对算法复杂度和性能的讨论。目标读者群体包括应用数学、计算科学、物理学、工程学等相关领域的学生、研究人员以及工程师。通过学习本书，读者将能够深入理解椭圆型边值问题的数值求解原理，掌握各种近似方法的实现细节，并能根据具体问题选择和应用最适合的数值技术。本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础和实用的技术工具，以应对实际工程和科学研究中遇到的复杂数学模型。