Algebraic Topology (Mathematics lecture note series) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Benjamin-Cummings Pub Co

作者:Marvin J. Greenberg

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1982-05

价格:USD 46.35

装帧:Hardcover

isbn号码:9780805335583

丛书系列:

图书标签:

代数拓扑
拓扑学
数学
讲义
数学讲义
代数学
同调论
上同调论
数学分析
抽象代数

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具体描述

代数拓扑学：结构、不变量与几何的桥梁本书深入探讨代数拓扑学这一迷人的数学分支，它巧妙地运用代数工具来研究几何空间的性质。代数拓扑学提供了一套强大的方法，能够区分在连续形变下保持不变的形状，揭示出隐藏在几何直觉之下的深刻结构。本书将带领读者穿越一系列核心概念，从最基础的同调论（homology theory）出发，逐渐攀升至更高级的代数结构。我们将首先建立同调群（homology groups）的定义，理解它们如何捕捉空间的“洞”和“连通性”。通过对链复形（chain complexes）、边界算子（boundary operators）和同调算子（homology operators）的严谨分析，我们将学会如何计算这些代数不变量，并用它们来区分不同的拓扑空间。例如，我们将发现，一个圆环（torus）和一个球面（sphere）虽然看起来相似，但它们的同调群却截然不同，从而证明了它们无法通过连续形变相互转化。本书还会介绍奇异同调（singular homology）和单纯同调（simplicial homology）等不同构建同调群的方法，并证明它们在许多情况下是等价的。我们将探索同调论中的公理化方法，理解同调函子（homology functor）的性质，以及链同伦（chain homotopy）在定义拓扑不变量中的关键作用。除了同调论，本书还将涉足同伦论（homotopy theory）的领域。我们将在空间中考虑连续映射的同伦等价性，并引入基本群（fundamental group）的概念。基本群是一个重要的代数不变量，它编码了空间中闭合路径的组合信息。我们将学习如何计算基本群，例如通过范德西格尔定理（Van Kampen's theorem），并将其应用于理解复杂空间的结构。本书还将深入探讨更为精细的代数不变量，例如上同调论（cohomology theory）。上同调群与同调群密切相关，但提供了不同的视角，尤其是在研究乘积结构（product structures）方面。我们将介绍上同调环（cohomology rings）及其在代数拓扑和微分几何中的应用，例如陈类（Chern classes）和庞特里亚金类（Pontryagin classes）的构造。为了支持这些代数工具的应用，本书还将回顾和发展读者在代数方面的知识，特别是关于群论（group theory）、环论（ring theory）和模论（module theory）的内容。我们将重点关注阿贝尔群（abelian groups）、自由群（free groups）、自由阿贝尔群（free abelian groups）、多项式环（polynomial rings）以及张量积（tensor products）等概念。理解这些代数结构对于构建和理解同调和上同调群至关重要。本书的叙述方式强调概念的清晰性和论证的严谨性。每章都包含一系列精心设计的例题和练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养解决实际问题的能力。这些练习题的难度各不相同，既有基础概念的检验，也有更具挑战性的探索性问题，鼓励读者独立思考和深入钻研。代数拓扑学的应用领域极为广泛，从纯粹数学的各个分支，如微分几何、微分拓扑、代数几何，到物理学中的弦理论、凝聚态物理，再到计算机科学中的形状匹配和网络分析，都离不开代数拓扑学的工具。本书的目的不仅在于传授一套数学理论，更在于启发读者将这些抽象的代数结构与具体的几何对象联系起来，用代数的语言理解和描述几何世界的奥秘。本书适合具有扎实本科代数和拓扑学基础的学生、研究生以及对代数拓扑学感兴趣的科研人员。通过本书的学习，读者将能够掌握代数拓扑学的基本理论框架，能够运用其核心概念和工具分析和解决各种拓扑问题，并为进一步深入研究更高级的拓扑学和相关领域打下坚实的基础。我们将一同探索数学的深邃之处，感受代数与几何在抽象层面上的和谐共鸣。