Introduction to Topology and Modern Analysis pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Krieger Publishing Company

作者:George F. Simmons

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2003-6-1

价格:USD 70.40

装帧:Hardcover

isbn号码:9781575242385

丛书系列:International Series in Pure and Applied Mathematics

图书标签:

拓扑学
数学分析
实分析
点集拓扑
拓扑空间
泛函分析
高等数学
数学
分析学
现代分析

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具体描述

《拓扑学与现代分析导论》这本书带领读者踏上一段探索数学两大核心分支——拓扑学和现代分析学——的迷人旅程。它并非一份枯燥的定义汇编，而是一次深入理解这些学科精髓、领略其优雅与力量的引导。本书旨在为具有一定数学基础（例如，熟悉基本实数分析和线性代数）的读者提供坚实的理解，并为进一步深入研究或将其应用于其他领域奠定基础。拓扑学部分拓扑学的核心在于研究空间在连续变形下的不变性质。本书将从最基础的概念出发，如集合论预备知识，为理解后续内容铺平道路。接着，我们将引入拓扑空间的定义，这是一个抽象但强大的框架，能够囊括我们熟悉的欧几里得空间以及更广泛的数学对象。读者将学习到开集、闭集、邻域等基本概念，这些是构建任何拓扑结构的关键元素。本书将深入探讨连续函数的拓扑定义，这比我们通常在微积分中所见到的定义更为普适，能够适用于更一般的空间。我们将研究同胚，这是拓扑学中“相同”的概念，意味着两个空间在拓扑性质上是完全等价的，可以像橡皮泥一样互相变形。为了更好地理解和区分不同的拓扑空间，本书将介绍一系列重要的拓扑性质。连通性的概念将帮助我们理解一个空间是否可以被分成不相交的开集。紧致性则是一个关键性质，它在分析学中扮演着至关重要的角色，可以类比为有限性。我们将探索度量空间，这是一类特殊的拓扑空间，其中距离的概念被明确定义，这使得我们能够引入收敛性、完备性等分析学中的核心概念。此外，本书还将触及一些更高级但十分基础的拓扑概念，例如分离公理（T0, T1, T2/Hausdorff），它们描述了空间中点之间的区分程度；以及可数公理（第一和第二可数性公理），这些性质与空间的“大小”和“维度”有关。这些概念的引入，将为读者构建起一个关于空间性质的丰富视角。现代分析学部分现代分析学，特别是实分析，在微积分的基础上进行了严谨的提升，并引入了更强大的工具和理论。本书将从实数系统的公理化定义开始，深入探讨其完备性，这是理解极限、连续性和积分等概念的基石。我们将重新审视序列和级数的收敛性，并在此基础上引入函数序列和函数级数的概念。一致收敛将是一个重点，它比逐点收敛更强，是保证极限函数保留某些性质（如连续性）的关键。勒贝格积分是现代分析学的核心成就之一，它提供了比黎曼积分更强大、更普适的积分理论。本书将循序渐进地介绍勒贝格测度、可测函数以及勒贝格积分的构造。读者将理解勒贝格积分的优势，例如它能够处理更广泛的函数类，并拥有更优良的收敛定理，如勒贝格控制收敛定理和Fatou引理。本书还将探讨Banach空间和Hilbert空间，这些是无限维向量空间的范例，在泛函分析中占据核心地位。我们将学习范数、距离等概念在这些空间中的应用，并引入有界线性算子的概念，这是研究线性方程组和微分方程的强大工具。收敛性、完备性等概念在Banach空间和Hilbert空间中的体现，将极大地扩展读者的数学视野。连接与应用本书的精髓在于展示拓扑学和现代分析学之间的深刻联系。例如，拓扑空间中的度量赋予了分析学所需的结构，而分析学中的收敛性、连续性等概念也为拓扑空间的构造和研究提供了方法。本书旨在通过严谨的定义、清晰的证明和精选的例题，帮助读者掌握这些核心概念。它不仅是理论的介绍，也为读者理解如何将这些工具应用于解决实际的数学问题，以及在更广泛的科学领域（如物理学、工程学、计算机科学等）中找到它们的影子，打下坚实的基础。无论您是希望深入理解数学的严谨性，还是为进一步的研究和应用做好准备，《拓扑学与现代分析导论》都将是您不可或缺的伴侣。