Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems (Cambridge Monographs on Applied and Computational pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Henk A. van der Vorst

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2009-11-09

价格:USD 43.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521183703

丛书系列:Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics

图书标签:

• Krylov subspace methods
• Iterative methods
• Linear algebra
• Large-scale systems
• Numerical analysis
• Scientific computing
• Matrix computations
• Cambridge Monographs
• Applied mathematics
• Computational mathematics

迭代 Krylov 方法求解大型线性方程组 本书深入探讨了迭代 Krylov 方法在求解大型稀疏线性方程组方面的理论基础、算法设计与实际应用。随着科学计算和工程领域对大规模问题的处理能力需求日益增长，直接求解方法（如高斯消元法）因其巨大的计算复杂度和存储需求而变得不切实际。迭代方法，特别是 Krylov 子空间方法，为解决这一挑战提供了高效的途径。 核心理论与方法 本书首先回顾了线性代数的基本概念，为后续内容的展开奠定基础。重点介绍了求解线性方程组 $Ax = b$ 的必要性，并阐述了矩阵 $A$ 的性质（如对称性、正定性、非对称性等）对算法选择和性能的影响。 接着，本书详细阐述了 Krylov 方法的核心思想。Krylov 方法通过构造由初始残差向量生成的 Krylov 子空间来逼近精确解。在 Krylov 子空间内，算法寻找一个最优的近似解，从而逐步减小残差。本书着重介绍了以下几种主要的 Krylov 方法： 共轭梯度法 (Conjugate Gradient, CG): 专为对称正定 (SPD) 线性系统设计。CG 方法在每一步迭代中都生成一个与之前迭代方向正交的搜索方向，并在该方向上进行最优步长更新，从而保证了在 $n$ 步内（对于 $n imes n$ 系统）收敛到精确解（在浮点算术精度允许范围内）。本书深入分析了 CG 方法的收敛理论，包括与特征值分布的关系，以及其在实际应用中的性能表现。 广义最小残差法 (Generalized Minimum Residual, GMRES): 适用于一般的非对称非奇异线性系统。GMRES 方法试图在 Krylov 子空间内最小化残差向量的范数。GMRES 的标准形式（全步长 GMRES）可以保证收敛，但其存储需求会随着迭代次数的增加而线性增长。本书详细介绍了 GMRES 的算法实现，并讨论了其变种，如修正的 GMRES (MGMRES) 和重启 GMRES (GMRES(m))，以解决存储和收敛速度的问题。GMRES(m) 通过限制 Krylov 子空间的大小（即重启的次数），在计算成本和收敛性之间取得了良好的折衷。 双共轭梯度法 (Bi-conjugate Gradient, BiCG): 也是为非对称系统设计的。BiCG 方法利用了 $A$ 和 $A^T$ 的 Krylov 子空间，通过构造双共轭的搜索方向来更新解。虽然 BiCG 在理论上可以收敛，但其残差序列可能表现出不规则的波动，有时甚至会发散。本书探讨了 BiCG 的原理，并分析了其潜在的问题。 双共轭梯度稳定法 (Bi-conjugate Gradient Stabilized, BiCGSTAB): 作为 BiCG 的改进，BiCGSTAB 引入了一个“平滑”步骤，以减少残差序列的波动，并通常比 BiCG 提供更稳定的收敛行为。BiCGSTAB 在保持 BiCG 的计算效率的同时，提高了鲁棒性，使其成为求解非对称线性系统的一种流行选择。本书详细阐述了 BiCGSTAB 的算法流程，并对其收敛特性进行了分析。 非对称共轭梯度法 (Conjugate Gradient Squared, CGS) 和 QMR (Quasi-Minimal Residual): 这两种方法也是 BiCG 的变种，旨在改进收敛稳定性和减小残差波动。CGS 通过将 BiCG 的更新步骤“平方”来加速收敛，但可能导致残差序列更加不稳定。QMR 则试图在 Krylov 子空间内最小化残差的范数，以获得更平滑的收敛曲线。本书将对这些方法进行比较分析。 预条件技术 对于很多大型稀疏线性系统，直接应用 Krylov 方法可能收敛缓慢，甚至不收敛。预条件技术是加速 Krylov 方法收敛速度和提高鲁棒性的关键。本书投入大量篇幅介绍各种预条件子的构建与应用： 不完全 LU 分解 (Incomplete LU, ILU): ILU 预条件是一种基于 LU 分解的思想，但通过截断或填充不为零的元素来降低计算成本和存储需求。常见的 ILU 变种包括 ILU(0)、ILU(k) 和 ILUT。本书详细介绍了不同 ILU 预条件的构建算法，并讨论了它们在不同类型矩阵上的性能。 不完全 Cholesky 分解 (Incomplete Cholesky, ICHOL): 类似于 ILU，ICHOL 是为对称正定矩阵设计的预条件技术。 代数多重网格法 (Algebraic Multigrid, AMG): AMG 是一种基于代数层级结构的预条件技术，尤其适用于具有特定结构（如网格结构）的大型稀疏系统。AMG 通过在不同尺度的网格上进行迭代，有效地处理问题的多尺度性质，从而实现快速收敛。本书将介绍 AMG 的基本原理和算法。 块对角预条件 (Block Diagonal Preconditioning): 通过将矩阵分解为块，然后仅使用块对角线部分作为预条件，这种方法可以简化计算。 其他预条件技术: 书中还会涵盖一些其他重要的预条件技术，例如基于矩阵的迭代预条件、近似逆预条件等。 理论分析与收敛性 本书不仅关注算法的实现，更深入地探讨了 Krylov 方法的理论基础和收敛性分析。读者将学习到： Krylov 子空间的性质: 如何通过矩阵与向量的乘积来生成 Krylov 子空间。 算法的收敛条件: Krylov 方法的收敛速度与矩阵特征值分布、条件数以及预条件子的有效性之间的关系。 残差的分析: 如何分析残差向量的范数随迭代次数的变化，以及与多项式逼近理论的联系。 实际应用与实现 本书的另一大亮点在于其丰富的实际应用案例和对算法实现的深入剖析。读者将了解到 Krylov 方法如何在以下领域得到广泛应用： 计算流体力学 (CFD): 求解 Navier-Stokes 方程等。 有限元方法 (FEM) 和有限差分方法 (FDM): 求解偏微分方程。 电磁学和声学仿真: 求解麦克斯韦方程组和声学方程。 机器学习和数据科学: 求解大型线性回归问题、优化问题等。 在算法实现方面，本书将提供详细的伪代码，并讨论在实际编程中需要注意的细节，如浮点精度、内存管理、并行计算等。 目标读者 本书适合对计算数学、数值分析、高性能计算、科学计算以及相关工程领域感兴趣的研究生、博士后研究员以及资深工程师。具备一定的线性代数和数值分析基础的读者将更容易理解书中的内容。 总结 《迭代 Krylov 方法求解大型线性方程组》是一部全面而深入的学术专著，它为读者提供了一个坚实的理论框架和实用的算法工具，以应对现代科学计算和工程中日益增长的大规模线性方程组求解挑战。通过对 Krylov 方法及其预条件技术的详尽阐述，本书将帮助读者更有效地理解和应用这些强大的数值工具。

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