Théorie de Galois pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Dunod

作者:Jean-Pierre Escofier

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000-09-18

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9782100053124

丛书系列:

图书标签:

Galois theory
Field theory
Abstract algebra
Polynomials
Group theory
Mathematics
Algebra
French mathematics
History of mathematics
Number theory

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具体描述

《伽罗瓦理论》：探索代数方程深层结构的钥匙《伽罗瓦理论》是一部深刻阐释抽象代数核心思想的著作，它以精妙的数学语言揭示了多项式方程根的结构与其对称性之间的深刻联系。这本书并非简单地罗列公式或求解技巧，而是引领读者深入探索一个数学领域，这个领域彻底改变了我们对代数方程的理解，并为现代数学的许多分支奠定了基础。本书的核心在于“伽罗瓦群”的概念。伽罗瓦群并非物理上的群体，而是抽象代数中一个由特定对称性组成的集合。对于一个给定的多项式方程，伽罗瓦理论为我们构建了一个与之相关的群，这个群的结构直接反映了方程根的置换关系。换句话说，方程的根之间如何相互转化，隐藏在伽罗瓦群的内在规律之中。例如，我们知道二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根可以通过韦达公式 $x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 得到。这两个根可以通过一个简单的交换操作相互转化。这种交换操作，以及可能存在的其他更复杂的转化，构成了二次方程的伽罗瓦群。伽罗瓦理论将这一思想推广到了任意次数的多项式方程。书中，作者将首先引导读者回顾和巩固多项式理论的基础知识，包括多项式的根、域扩张以及域的自同构群。这些概念是构建伽罗瓦理论的基石。读者将学习如何通过添加方程的根来“扩张”一个域，形成一个新的、更“大”的域。域扩张的次数与方程根之间的对称性密切相关。接着，本书将深入探讨伽罗瓦理论的核心定理——基本对应定理。这个定理建立了一个一一对应关系：在多项式方程的伽罗瓦群的子群与该方程的域扩张的中间域之间存在着一种清晰的对应。更具体地说，伽罗瓦群的某个子群的性质，可以直接反映出对应的中间域的结构，反之亦然。这种对应关系是如此强大，以至于我们可以通过研究群的结构来理解域的结构，反之亦然。这一定理的意义在于，它将原本可能难以直接分析的域扩张问题，转化为更易于处理的群论问题。研究群的子群结构、阶数、正规性等性质，就可以揭示域扩张的深度和复杂性，以及方程根之间的关联。《伽罗瓦理论》的一个里程碑式的应用是解释为何五次及更高次的一般多项式方程无法用根式（即只包含加、减、乘、除以及有限次开方运算）求解。伽罗瓦证明了，当且仅当一个多项式方程的伽罗瓦群是一个可解群时，该方程才能用根式求解。而对于五次及以上的一般多项式，其伽罗瓦群是 $A_n$ （n>=5），这是一个不可解群。因此，根式求解在理论上是不可能的。本书将详细展示这一证明过程，揭示其背后的深刻数学原理。除了根式求解问题，《伽罗瓦理论》还涉及多个重要的数学领域。例如，它在几何学中有着重要的应用，如证明“三等分角”和“倍立方”等几何问题的不可解性，这些问题都可以转化为特定多项式方程的求解问题，而这些方程的伽罗瓦群是不可解的。此外，伽罗瓦理论在数论、代数几何、编码理论等现代数学分支中也扮演着至关重要的角色，它为研究更复杂的数学结构提供了强大的工具。本书的写作风格严谨而富有启发性。作者注重概念的清晰阐释，通过精心设计的例子和证明，引导读者逐步领悟抽象的数学思想。读者将学习如何运用逻辑推理，如何将抽象的概念与具体的数学对象联系起来，并最终掌握分析代数方程结构的核心方法。对于数学专业的学生和研究者而言，《伽罗瓦理论》是学习代数核心思想不可或缺的读物。它不仅能帮助读者深入理解多项式方程的本质，更能培养严谨的数学思维，为进一步探索更高级的数学领域打下坚实的基础。即使对于对数学充满好奇的非专业读者，本书也能带来一次穿越抽象数学迷宫的智力冒险，体验到数学之美与力量。