Algebraic Curves and One-Dimensional Fields (Courant Lecture Notes) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Courant Institute of Mathemetical Sciences

作者:Fedor Bogomolov

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:2002-10-10

价格:USD 28.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821828625

丛书系列:Courant Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

数学
Algebraic Curves
One-Dimensional Fields
Courant Lecture Notes
Algebraic Geometry
Number Theory
Field Theory
Riemann Surfaces
Complex Analysis
Diophantine Geometry
Arithmetic Geometry

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具体描述

代数曲线与一维场：探寻几何与代数的交融本书深入探讨了代数曲线和一维场这两个在现代数学中占据核心地位的领域。它不仅仅是对这两个概念的简单罗列，更是一次关于它们之间深刻联系和相互启发的探索之旅。通过精妙的代数语言和直观的几何视角，读者将得以领略数学家们如何构建抽象理论，并从中挖掘出丰富的结构和普遍性原理。核心概念的深度解析：本书开篇便致力于清晰地界定和阐述代数曲线的核心概念。不同于初等几何中的直观理解，本书将代数曲线置于更广阔的代数几何的框架下进行考察。这意味着我们将学习如何使用多项式方程来定义和描述这些几何对象，并理解这些方程的代数性质如何直接反映在曲线的几何形态上。我们将深入研究射影平面中的曲线，了解齐次坐标系如何帮助我们统一处理仿射和无穷远点，从而更完整地把握曲线的全局特性。此外，对不可约代数曲线的分析是本书的重中之重。我们将探讨曲线的不可约性这一关键属性，它意味着曲线不能被分解为更简单的代数曲线的并集。理解不可约性是后续深入研究曲线性质的基础。本书将介绍诸如多项式分解、理想理论等代数工具，来精确地判断曲线的不可约性，并分析不可约曲线的内在结构。与代数曲线紧密相连的是一维场的概念。本书将代数曲线的几何对象与代数结构中的域（field）联系起来，特别是那些具有特定维度（在这里是一维）的代数结构。我们将探索函数域（function fields）的概念，理解如何将代数曲线上的函数及其性质转化为代数域的结构。例如，给定一条代数曲线 $C$，与之相关的函数域 $K(C)$ 包含了所有定义在 $C$ 上的有理函数。这个函数域的代数性质，如其上的代数扩张、代数闭包等，直接对应着代数曲线上的几何特性，如点的集合、函数的可除性等。理论的构建与联系：本书的核心在于揭示代数曲线的几何特性与一维场（特别是函数域）的代数结构之间的深刻对应关系。我们将学习如何从代数曲线的方程出发，构建出与之相关的一维函数域；反之，也可以从一个一维函数域出发，构造出相应的代数曲线。这种“几何-代数”的双向转换是代数几何的精髓所在，也是本书要传达的关键信息。例如，我们将会学习到，一个不可约代数曲线的连通性（connectivity）与对应的函数域的代数封闭性（algebraic closure）有着密切的联系。曲线上的奇点（singularities）——那些几何上不光滑的点，如尖点（cusps）和重双点（multiple points）——在函数域的代数结构中也有其对应的体现，例如通过分析函数域中特定元素的性质。本书还将详细介绍黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）在代数曲线理论中的应用。黎曼-罗赫定理是代数几何中最重要和最有力的工具之一，它将代数曲线上的函数（或除子）的性质与曲线的几何特征（如亏格）联系起来。我们将学习如何利用这个定理来计算特定函数空间的维度，从而获得关于曲线结构的重要信息。理解黎曼-罗赫定理，意味着我们掌握了连接曲线几何与函数代数桥梁的关键。方法的传授与视野的拓展：本书不仅提供了丰富的理论知识，更注重传授解决问题的方法论。读者将学习如何运用抽象代数的工具，如理想、环、模等，来分析和解决代数几何中的问题。同时，也会强调将代数概念可视化，通过几何图形来辅助理解抽象的代数结构。此外，本书还将触及代数曲线在其他数学分支中的应用，例如数论（通过椭圆曲线）和拓扑学。这将为读者打开更广阔的视野，理解代数曲线和一维场不仅仅是纯粹的数学研究对象，更是连接不同数学领域的桥梁。目标读者：本书适合数学系研究生、对代数几何、数论或函数域理论感兴趣的高年级本科生，以及任何希望深入理解代数曲线和相关代数结构的数学研究者。阅读本书需要具备一定的抽象代数基础，以及初步的拓扑学和复分析知识。通过本书的学习，读者将能够独立地进行代数曲线的研究，并为更深入的数学探索打下坚实的基础。