Modern Aspects of Linear Algebra (Translations of Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:S. K. Godunov

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-05-05

价格:USD 128.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821808887

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

线性代数
数学
翻译
数学单行本
代数
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矩阵
向量空间

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具体描述

《线性代数现代视角》本书深入探索了线性代数领域中一些最引人注目和最具影响力的现代发展，特别关注那些对理论数学和应用科学都产生深远影响的方面。本书并非对线性代数基础知识的简单复述，而是聚焦于能够揭示该学科活力和持续演进性的高级概念和技术。第一部分：代数结构与表示论线性代数的核心在于其对向量空间和线性变换的研究，而本部分将此基础向前推进，深入探讨更抽象的代数结构如何与线性代数相互作用。我们将考察李代数、环和模等概念，并展示它们如何为理解线性算子和矩阵提供新的视角。尤其值得关注的是表示论，它研究抽象代数结构（如群和李代数）如何在向量空间中通过线性变换来实现。本书将详细阐述表示论的基本工具，包括特征标理论、诱导表示以及酉表示理论，并重点介绍其在量子力学、粒子物理学和组合学等领域的应用。我们将探讨有限维和无限维表示的细微差别，以及如何利用对称性来简化复杂问题。第二部分：算子理论与泛函分析当我们将线性代数的概念推广到无限维向量空间时，我们便进入了算子理论的领域，这是泛函分析的核心组成部分。本书将详细审视有界算子和无界算子，并引入谱理论，这是一种强大的工具，用于分析算子在无限维空间中的行为，尤其是在希尔伯特空间中。谱理论的概念，如算子谱、本征值和本征函数，将被深入探讨，并将其与微分方程、积分方程以及量子力学中的可观测量联系起来。本书还将介绍自伴随算子、正定算子以及它们在描述物理系统中的重要性。此外，我们还将触及紧算子、迹类算子等更专业的概念，并展示它们在分析和几何中的应用。第三部分：代数几何与表示论的交叉近年来，代数几何和表示论之间的联系日益紧密，取得了许多令人兴奋的进展。本部分将探讨这些交叉领域，重点关注代数簇上的表示论。我们将介绍概形、向量丛以及它们与线性表示之间的关系。特别地，我们还将讨论代数群的表示论，以及如何利用代数几何的工具来理解这些群的表示。这将包括对上同调理论、Schur 代数以及 Kazhdan-Lusztig 多项式等主题的介绍，这些主题在表示论和代数几何中都扮演着核心角色。我们将展示这些抽象工具如何为解决组合问题、计数问题以及研究数学物理中的对称性提供强大的框架。第四部分：数值线性代数的新进展尽管理论方面至关重要，但线性代数在现代计算科学和工程中的应用同样不可或缺。本部分将聚焦于数值线性代数领域最前沿的研究成果。我们将深入探讨迭代方法，例如 Krylov 子空间方法（如 Lanczos 和 Arnoldi 算法），以及它们在求解大规模稀疏线性系统和特征值问题中的效率。本书还将重点关注降秩逼近、矩阵分解（如奇异值分解 SVD 和 QR 分解）在数据科学、机器学习和信号处理中的最新应用。我们还将讨论条件数、数值稳定性以及算法的计算复杂性，这些是理解和改进数值方法的关键。第五部分：线性代数在其他领域的应用线性代数作为一种通用语言，其影响力渗透到数学和科学的各个角落。本部分将展示线性代数在一些新兴和活跃的研究领域的具体应用。我们将探讨图论中的代数方法，包括拉普拉斯算子、谱聚类以及它们在网络分析和数据挖掘中的作用。此外，我们还将触及信息论中的应用，例如编码理论和纠错码，其中线性代数发挥着至关重要的作用。本书还将简要介绍线性代数在优化理论、控制理论以及机器学习中的应用，例如线性回归、主成分分析 PCA 和支持向量机 SVM。总而言之，《线性代数现代视角》旨在为读者提供一个全面而深入的线性代数的世界，超越了传统教材的范畴，展示了该学科在理论上的深度和在应用上的广度。通过对代数结构、算子理论、代数几何、数值方法以及跨学科应用的探索，本书将带领读者领略线性代数作为现代数学和科学基石的强大力量和不竭生命力。