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出版者:

作者:Greenes, Carole/ Larson, Matt/ Leiva, Miriam A., Dr./ Shaw, Jean M., Dr./ Stiff, Lee

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:2003-6

价格:$ 51.30

装帧:

isbn号码:9780618277179

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小学数学
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• 算术
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《几何学的奥秘：从欧几里得到非欧空间》 一部深入探索几何学演变及其在现代科学中应用的权威著作 书籍简介： 《几何学的奥秘：从欧几里得到非欧空间》并非一本传统的教科书，它是一部宏伟的叙事诗，带领读者穿越时空，亲历人类对空间、形状和度量衡理解的波澜壮阔的演变历程。本书旨在揭示几何学这一古老学科是如何从最初的土地测量工具，一步步蜕变为现代物理学、宇宙学乃至计算机科学的基石的。我们聚焦于那些定义了人类思维范式的关键概念、那些引领了科学革命的伟大头脑，以及那些看似抽象的数学结构如何深刻地塑造了我们对现实世界的认知。 本书的结构遵循着历史的脉络与逻辑的递进，共分为六大部分，详尽地阐述了从古典几何的辉煌到现代几何的广阔图景。 --- 第一部分：欧几里得的遗产——公理体系的建立与危机 本部分首先聚焦于古希腊文明的智慧结晶——欧几里得的《几何原本》。我们将详细剖析《原本》如何通过五条公设和五条公理构建起一个严密、自洽的演绎系统。这不是对教科书例题的简单回顾，而是对“公理化方法”这一思维范式的深度解析。我们探讨了欧几里得几何如何成为西方理性思维的典范，及其在文艺复兴时期对科学方法的深远影响。 然而，几何学的伟大之处在于其自身的挑战与超越。本部分最重要的篇幅将集中于几何学史上最著名的“顽疾”——第五公设（平行线公设）。我们将追溯数千年来无数数学家试图证明或推导出这条公设的尝试，这种坚持与困惑，体现了人类对逻辑一致性近乎偏执的追求。我们不仅描述了这些尝试，更深入分析了这些失败是如何孕育出划时代的思想突破的。 第二部分：解析几何的革命——空间的可计算性 从纯粹的逻辑演绎，到与代数的结合，解析几何的诞生标志着空间概念的一次巨大飞跃。本章详细探讨了笛卡尔（René Descartes）和费马（Pierre de Fermat）如何通过引入坐标系，将几何问题转化为代数方程，从而实现对形状和运动的精确“计算”。 我们着重分析了曲线的代数描述如何使得对运动的描述成为可能，这直接催生了微积分的发展。本书将解析几何视为连接“形”（Form）与“数”（Number）的桥梁，阐释了如何利用代数工具来研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的性质，及其在光学和天文学中的实际应用，例如开普勒定律的几何解释。 第三部分：非欧几何的黎明——对绝对空间的颠覆 这是全书最具颠覆性的部分。在详尽梳理了试图证明第五公设的失败尝试后，本书将笔锋转向了那些敢于“放弃”欧几里得权威的先驱者。 我们将详细介绍罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和鲍耶伊（Bolyai）独立构建的双曲几何，以及黎曼（Riemann）提出的椭圆几何（虽然黎曼的主要贡献在于更宏大的微分几何框架，但其对“曲率”的设想是理解非欧空间的关键）。我们深入探讨了这些几何系统的内在一致性，证明了它们在逻辑上与欧氏几何同等有效，只是描述了不同“空间”的性质。 重点分析了曲率的概念如何成为区分不同几何体的根本量度。这种对绝对空间的质疑，彻底解放了数学家的想象力，为随后的物理学革命铺平了道路。 第四部分：微分几何与张量分析——流形理论的奠基 如果说非欧几何是概念上的突破，那么微分几何就是将这些概念“工程化”的工具箱。本部分将把读者的视角聚焦于19世纪末至20世纪初的数学巨匠们，特别是黎曼本人。 我们详细阐述了黎曼几何的核心思想：在无限小的局部，空间可以被视为欧几里得空间（切空间），但整体上却可以拥有复杂的、变化的几何结构——流形（Manifold）。本书将介绍测地线（Geodesics）的概念，它取代了直线，成为“两点间最短路径”的广义定义。 此外，本书将详细解释张量分析的必要性。为了在坐标系变换下保持物理定律和几何关系的普适性，数学家需要一种不变的语言。张量，特别是度规张量（Metric Tensor），被证明是描述弯曲空间中距离和角度的恰当工具。 第五部分：爱因斯坦的宇宙观——几何学统治物理学 本书的高潮部分，是将抽象的几何学与我们所处的宇宙联系起来。本章将清晰地勾勒出爱因斯坦如何采纳黎曼几何和张量分析来构建他的广义相对论。 我们将解析广义相对论的核心等式——爱因斯坦场方程。我们解释了物质和能量如何通过其能量-动量张量（描述物质分布）来“告诉”空间如何弯曲，而弯曲的空间则“告诉”物质如何运动（即测地线）。本书将用清晰的图示和比喻，解释引力不再是力的作用，而是时空几何结构自身性质的体现。 我们将探讨广义相对论带来的惊人预言及其后续的实验验证，包括水星轨道的进动、光线在引力场中的弯曲、引力红移，以及黑洞和引力波的存在，证明几何学已成为我们理解宇宙结构和演化的终极语言。 第六部分：现代几何的应用与展望 在本书的最后部分，我们将目光投向几何学在20世纪至今的广阔应用领域，展示其超越物理学的强大生命力。 1. 拓扑学（Topology）的兴起： 介绍“橡皮泥几何学”，即研究空间在连续形变下保持不变的性质。我们将解析同胚的概念，并探讨流形理论在现代物理（如弦理论）中的重要性。 2. 微分几何与工程技术： 探讨现代计算机图形学中曲面建模（如Bézier曲线和NURBS曲面）的几何基础，以及在机器人学中运动规划所依赖的李群和李代数几何。 3. 数据科学中的几何学： 最后，本书将触及高维几何与拓扑数据分析（TDA）的前沿领域。在海量数据中发现内在结构，正越来越多地依赖于将数据点视为高维空间中的“点集”，并用拓扑工具来揭示其“形状”和“连通性”。 --- 《几何学的奥秘》 承诺为读者提供一次知识的“测地线”之旅。它不仅是关于“形状”的书，更是关于“推理”、“直觉”以及“人类心智如何构建其所居住的世界”的深刻反思。无论您是数学、物理或工程领域的专业人士，还是对知识的深层结构充满好奇的求知者，本书都将为您打开一扇通往空间本质的宏伟大门。

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