Lecture Notes In Applied Differential Equations Of Mathematical Physics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Luiz C. L. Botelho

出品人:

页数:340

译者:

出版时间:2008-9

价格:$ 103.00

装帧:

isbn号码:9789812814579

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 数学物理
• 应用数学
• 偏微分方程
• 常微分方程
• 数学模型
• 物理学
• 讲义
• 高等教育
• 理论物理

好的，这是一本关于应用微分方程的数学物理讲义的详细图书简介，内容将聚焦于该领域的核心主题，但不包含原书名中直接提到的特定内容，而是围绕该领域更广泛的、相关的研究方向进行深入阐述。 --- 深入解析经典与现代数学物理中的偏微分方程及其应用 一部面向研究人员与高级学生的综合性著作 本书旨在为致力于理解和应用偏微分方程（PDEs）解决物理学中复杂问题的研究人员、博士生以及高年级本科生提供一个坚实且前沿的理论框架。我们聚焦于那些在经典力学、电磁学、流体力学、量子理论以及材料科学等领域占据核心地位的数学模型，特别是那些需要借助先进分析技术才能揭示其内在物理机制的非线性、高维或奇异性问题。 本书的结构设计旨在引导读者从坚实的分析基础出发，逐步过渡到前沿的研究课题。我们避免了对基础微积分或初级常微分方程的冗长回顾，而是直接切入偏微分方程的深度解析。 第一部分：基础理论的巩固与泛函分析的视角 本部分致力于为后续的复杂模型分析奠定必要的数学工具基础。我们首先回顾并深化对椭圆型、抛物型和双曲型方程的经典理论理解，重点强调Sobolev空间和分布理论在处理非光滑解和弱解定义上的关键作用。 弱解的框架构建： 我们将详细探讨变分原理与能量泛函的构造，这不仅是理解泊松方程和亥姆霍兹方程解的存在性与唯一性的基础，也是现代数值分析方法（如有限元法）的理论基石。讨论将着重于$ ext{L}^p$空间和赫尔德（Hölder）空间的精确估计，以便对解的正则性进行严格的分类。 特征线与能量法： 针对双曲型方程，如波动方程和输运方程，我们将深入分析特征线理论在确定信息传播路径和奇点形成中的决定性作用。通过能量方法（特别是加权能量法），我们旨在量化解对初始数据和边界条件的敏感性，并为分析守恒律（如欧拉方程组）提供严格的数学工具。 非线性问题的初步探讨： 在基础之上，本章将引入初步的非线性概念，例如KdV方程中的保守量以及泊松方程中非线性项对解的渐近行为的影响。重点在于理解最大值原理在非线性扩散方程（如反应-扩散系统）中的推广与局限性。 第二部分：现代物理模型中的非线性偏微分方程 本部分是全书的重点，关注那些描述自然界中复杂现象的核心非线性方程。这些方程的解析解极其罕见，因此，理解其解的结构、稳定性和爆炸性至关重要。 非线性扩散与自由边界问题： 我们将详细剖析非线性热传导方程，特别是当扩散系数依赖于温度（或浓度）时的情况。这直接关联到多孔介质流动和化学反应速率的建模。随后，我们将深入研究自由边界问题，例如Stefan问题，该问题描述了相变过程中的界面演化。讨论将侧重于使用弱解和比较原理来控制界面运动的速度和方向。 守恒律与激波的形成： 针对完全非线性双曲型方程组（如磁流体力学MHD方程组的简化形式或欧拉方程），本章将聚焦于熵条件的重要性，以区分物理上可接受的解（如激波、接触间断）和数学上允许的奇异解。我们将引入Rankine-Hugoniot条件，并探讨其与Lax熵条件之间的内在联系。此外，对于非严格双曲系统（如渗流方程），其解的退化特性和奇点爆破的临界条件将受到严格的数学检验。 调和映射与几何分析： 在更抽象的层面上，本书将探讨偏微分方程在几何和拓扑领域中的应用。我们将分析调和映射方程（或称为Dirichlet能量最小化问题），探讨其椭圆型性质，以及在奇异点附近（如顶点或边缘）的局部正则性理论。这要求读者熟悉黎曼几何中的一些基本概念，如拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 第三部分：随机性、耗散与长期行为分析 现代物理学越来越关注由微观随机涨落或宏观耗散机制驱动的系统。本部分将探讨概率论工具与偏微分方程的交叉领域。 随机偏微分方程（SPDEs）导论： 我们将从经典的随机波动方程或随机热传导方程出发，介绍Itô积分在连续介质上的推广——$ ext{L}^2(Omega)$空间上的随机积分。重点将放在Kolmogorov方法和随机场理论上，以证明解过程的存在性、唯一性以及其平稳分布的性质。我们将区分路径依赖（path-dependent）和路径无关（path-independent）的SPDEs，并分析其解的Hausdorff维数。 耗散系统与全局吸引子： 对于描述湍流、粘性流体或耗散量子系统的方程（如Navier-Stokes方程的简化形式或Kuramoto-Sivashinsky方程），本章将探讨耗散性如何保证解的长期行为趋于有限维的集合。我们将引入惯性形式的$mathcal{C}^{0}$-半群理论，并尝试利用光滑性传递的原理来证明或估计全局吸引子的维度（如高维系统的$ ext{Kraichnan}$维度估计）。 谱方法与渐进分析： 最后，我们将回归到解析方法，重点分析解在小参数或大时间尺度下的渐近展开。这包括WKB方法在波动现象中传播时的应用，以及边界层理论在处理高频或快速变化的物理现象时的重要性。我们将探讨如何利用多尺度分析和平均化方法来处理具有快速振荡项的方程组，例如在材料结构中的有效介质理论。 结语 本书旨在提供一个动态的视角，展示偏微分方程作为连接数学抽象与物理实在的桥梁的强大能力。通过严谨的分析推导和对关键物理背景的深入理解，读者将装备好必要的工具，去驾驭那些尚未完全解决的、对现代科学至关重要的数学物理难题。本书的难度定位较高，要求读者具备扎实的实分析和泛函分析背景，是通往微分方程研究领域深处的一次有益探索。

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