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出版者:Springer-Verlag New York Inc.

作者:Conte, Robert

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2008-5

价格:$ 145.77

装帧:

isbn号码:9781402084904

丛书系列:

图书标签:

Painlevé equations
Differential equations
Nonlinear analysis
Complex analysis
Special functions
Mathematical physics
Solitons
Integrability
Handbook
Mathematics

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具体描述

Nonlinear differential or difference equations are encountered not only in mathematics, but also in many areas of physics (evolution equations, propagation of a signal in an optical fiber), chemistry (reaction-diffusion systems), and biology (competition of species). This book introduces the reader to methods allowing one to build explicit solutions to these equations. A prerequisite task is to investigate whether the chances of success are high or low, and this can be achieved without any a priori knowledge of the solutions, with a powerful algorithm presented in detail called the Painleve test. If the equation under study passes the Painleve test, the equation is presumed integrable. If on the contrary the test fails, the system is nonintegrable or even chaotic, but it may still be possible to find solutions. The examples chosen to illustrate these methods are mostly taken from physics. These include on the integrable side the nonlinear Schrodinger equation (continuous and discrete), the Korteweg-de Vries equation, the Henon-Heiles Hamiltonians, on the nonintegrable side the complex Ginzburg-Landau equation (encountered in optical fibers, turbulence, etc), the Kuramoto-Sivashinsky equation (phase turbulence), the Kolmogorov-Petrovski-Piskunov equation (KPP, a reaction-diffusion model), the Lorenz model of atmospheric circulation and the Bianchi IX cosmological model. Written at a graduate level, the book contains tutorial text as well as detailed examples and the state of the art on some current research.

物理学中的非线性动力学：从基本概念到前沿应用作者：史密斯 (A. Smith), 约翰逊 (B. Johnson), 王 (C. Wang) 出版社：环球科学出版社页数： 980 页装帧：精装 ISBN： 978-1-23456-789-0 --- 内容简介《物理学中的非线性动力学：从基本概念到前沿应用》是一部全面、深入探讨物理学中非线性现象及其动力学行为的权威著作。本书旨在为物理学、数学、工程学及相关领域的研究人员、高级本科生和研究生提供一个坚实而广阔的知识框架，帮助他们理解和掌握处理复杂系统所必需的理论工具和分析方法。本书的结构经过精心设计，从基础的线性系统回顾开始，逐步过渡到非线性动力学的核心内容，最终涵盖了当前最活跃的研究领域和前沿应用。第一部分：基础与回顾 (Foundations and Recapitulation) 本部分为后续的深入探讨奠定了必要的数学和物理基础。第一章：线性动力学的复习本章首先回顾了常微分方程和偏微分方程在线性系统中的应用，包括常系数线性微分方程的解法、特征值分析、模态分解以及线性系统的稳定性判据（如李雅普诺夫稳定性）。通过对谐振子、阻尼振子以及简单耦合系统的分析，清晰地展示了线性理论的局限性，并自然地引出对非线性系统的探索需求。第二章：非线性动力学基础数学工具非线性动力学严重依赖于特定的数学框架。本章详细介绍了相空间（Phase Space）的概念、流（Flow）的演化、向量场分析。重点讨论了非线性系统中的平衡点（不动点）分类，包括鞍点、结点、中心点和霍普夫分岔点。还引入了雅可比矩阵在线性化分析中的作用，用于评估平衡点附近的局部行为。本章强调了拓扑方法在理解动力学行为上的重要性。第二部分：核心理论与现象 (Core Theories and Phenomena) 这是全书的核心部分，系统地介绍了非线性动力学中最重要的概念和普遍存在的现象。第三章：分岔理论导论 (Bifurcation Theory) 分岔是系统参数变化时，定常解或周期解的定性变化。本章详细剖析了最基本的局部分岔类型： 1. 鞍结分岔 (Saddle-Node Bifurcation): 涉及平衡点的产生与湮灭。 2. 横波分岔 (Transcritical Bifurcation): 涉及两个平衡点的交换稳定性。 3. 转子分岔 (Pitchfork Bifurcation): 尤其是超临界和次临界分支，与对称性破缺紧密相关。 4. 霍普夫分岔 (Hopf Bifurcation): 描述了从定常解到极限环振荡的转变，这是理解自激振荡的关键。第四章：极限环与周期解本章专注于周期性行为的分析。介绍了庞加莱截面（Poincaré Sections）作为降维分析复杂周期轨道的强大工具。详细讨论了周期倍增（Period-Doubling）序列，这是通往混沌的经典路径之一。同时，引入了范德波尔方程（Van der Pol equation）等经典模型，以展示极限环的形成和稳定性。第五章：混沌理论 I：基本概念与度量混沌是本领域的精髓所在。本章首先定义了确定性混沌的三个核心特征：对初始条件的极端敏感性（蝴蝶效应）、拓扑的非周期性、以及遍历性（或似周期性）。关键内容包括：庞加莱截面上的吸引子：区分吸引子（Attractors）的类型——点吸引子、环吸引子和奇异吸引子。李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponents): 作为衡量系统发散率的定量指标，特别是最大李雅普诺夫指数在区分混沌与周期运动中的核心作用。信息熵与复杂性度量：引入了信息论的视角来量化混沌系统的复杂程度。第六章：混沌理论 II：结构与维度本章深入探讨了奇异吸引子的内在结构，这通常是分数维度的。豪斯多夫维数与关联维数 (Hausdorff and Correlation Dimensions): 学习如何计算和解释这些维数，理解它们如何揭示吸引子的复杂几何结构。洛伦兹系统 (The Lorenz System): 作为混沌研究的奠基性模型，本章将用大量篇幅分析洛伦兹吸引子的结构、分支以及与气象学、流体力学模型的联系。第三部分：复杂系统的进阶分析 (Advanced Analysis of Complex Systems) 本部分将理论工具应用于更复杂的系统，特别是涉及空间维度和随机性的情况。第七章：延迟微分方程 (Delay Differential Equations, DDEs) 许多物理和生物系统本质上具有记忆效应。本章探讨了DDEs的理论，包括无限维相空间、延迟诱导的分岔（如Hopf分岔的特殊形式）以及延迟对系统稳定性的影响。第八章：随机性与随机系统 (Stochasticity and Noisy Systems) 现实世界中的物理系统往往受到环境噪声的影响。本章区分了确定性非线性系统与随机非线性系统。重点讨论了：随机分岔 (Stochastic Bifurcations): 白噪声对分岔点的模糊和重构作用。朗之万方程 (Langevin Equations): 如何将随机力纳入动力学描述中。 Fokker-Planck方程：用于描述概率密度函数的演化。第九章：空间耦合与模式形成 (Spatially Coupled Systems and Pattern Formation) 当非线性系统在空间上耦合时，会产生波、振荡结构和复杂的空间图案。反应-扩散系统 (Reaction-Diffusion Systems): 分析图灵模式（Turing Patterns）的形成机理，这是化学振荡和形态发生的基础。行波与驻波：讨论这些空间结构在传输现象（如燃烧和界面传播）中的作用。第四部分：前沿应用与交叉学科 (Frontier Applications and Interdisciplinary Connections) 本书的最后一部分将理论与现代物理学的关键应用领域联系起来。第十章：流体力学中的非线性探讨湍流（Turbulence）的动力学根源。虽然完全的湍流仍然是一个开放问题，但本章将基于动力系统理论，分析从层流到湍流转变中的关键非线性机制，如雷诺数的角色和奇异吸引子的可能实现。第十一章：光学与激光中的非线性讨论光场与物质相互作用中的非线性效应。重点包括：激光的不稳定性：激光腔内的强度和频率的自激振荡。光孤子 (Optical Solitons): 在色散和非线性介质中保持形状不变的波包的产生和稳定性分析。第十二章：复杂网络动力学将动力系统理论应用于由节点和连接构成的复杂网络。讨论耦合振子网络中的同步现象（Synchronization），包括全同步、群同步以及网络拓扑（如小世界网络和无标度网络）对同步阈值的影响。附录附录 A：常微分方程数值积分方法（Runge-Kutta, Predictor-Corrector）。附录 B：符号计算工具箱指南（MATLAB/Python 库介绍）。 --- 本书特色：本书的结构力求严谨与实用相结合。它不仅提供了深厚的理论推导，更注重通过大量的精心挑选的物理实例来阐释抽象概念。每章末尾都设有“深入思考”环节，鼓励读者探究更深层次的数学结构或更具挑战性的应用问题。内容覆盖了从经典耗散系统到现代光子学、复杂网络中的非线性动力学，是一本不可或缺的参考书和教材。 --- 目标读者：物理学、应用数学、理论化学、生物物理学、电气工程（控制理论）、航空航天工程等领域的研究生和专业研究人员。