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出版者:Springer

作者:Mario Bebendorf

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2008-6-10

价格:USD 129.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540771463

丛书系列:

图书标签:

数学
数值线性代数
分层矩阵
快速算法
大型矩阵
科学计算
数值方法
矩阵分解
近似计算
计算数学
应用数学

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具体描述

Hierarchical matrices are an efficient framework for large-scale fully populated matrices arising, e.g., from the finite element discretization of solution operators of elliptic boundary value problems. In addition to storing such matrices, approximations of the usual matrix operations can be computed with logarithmic-linear complexity, which can be exploited to setup approximate preconditioners in an efficient and convenient way. Besides the algorithmic aspects of hierarchical matrices, the main aim of this book is to present their theoretical background. The book contains the existing approximation theory for elliptic problems including partial differential operators with nonsmooth coefficients. Furthermore, it presents in full detail the adaptive cross approximation method for the efficient treatment of integral operators with non-local kernel functions. The theory is supported by many numerical experiments from real applications.

跨越数字鸿沟：现代计算中的矩阵优化与稀疏化技术内容简介在当代科学计算、工程模拟以及大数据分析的核心领域，矩阵运算的效率与精度是制约问题规模扩展的根本瓶颈。本书《跨越数字鸿沟：现代计算中的矩阵优化与稀疏化技术》深入探讨了一系列尖端技术，旨在解决传统稠密矩阵计算在存储、内存访问和运算复杂度上遇到的巨大挑战。全书聚焦于如何有效地利用矩阵结构、特别是其内在的低秩特性、稀疏性以及可分层组织的能力，来革新数值线性代数在高性能计算环境中的应用范式。本书的第一部分首先奠定了坚实的理论基础，对矩阵的结构特性进行了细致的分类与量化分析。我们着重考察了快速多极方法 (FMM) 的核心思想，并将其数学框架与矩阵分解理论相结合，阐明了如何通过空间划分和多尺度近似来揭示大规模矩阵中隐藏的低秩结构。这部分内容包括对各种截断误差估计的详细推导，以及如何根据物理问题的特性（如电磁场、引力作用或弹性变形）来选择最优的近似阶数。随后，本书深入研究了数据稀疏化和结构稀疏化这两大核心策略。在稀疏化方面，我们不仅回顾了经典的基于零元素的稀疏矩阵存储格式（如CSR, CSC, COO），更引入了适应于现代并行处理器架构的动态稀疏结构概念。这包括针对非结构化网格和自适应有限元方法中产生的矩阵，如何设计内存高效且能充分利用SIMD指令集的存储布局。对于那些看似稠密但局部相关的矩阵，我们提出了基于小波变换和曲线优化的稀疏化方法，这种方法能够在保持足够精度的前提下，将矩阵的复杂度从 $O(N^2)$ 显著降低至近线性或接近 $O(N log N)$ 级别。本书的第三部分转向了矩阵的层次化组织与分解。这里，我们详细介绍了如何通过递归地划分矩阵块，并对不同“距离”的块应用不同的近似策略，来构建高效的计算模型。这包括对分块低秩分解（Block Low-Rank Decomposition）的深入探讨，特别是其在求解大型边界元方法（BEM）和偏微分方程（PDE）离散化矩阵时的优势。我们展示了如何构建一个自适应的层次结构，该结构能够自动识别出需要高精度表示的局部相互作用区域，而对长距离的、相对平滑的相互作用采用粗粒度的低秩近似。这部分内容涉及大量的几何划分策略，例如四叉树和八叉树在矩阵索引空间中的映射，以及如何确保在矩阵乘法过程中保持良好的数据局部性。高性能实现与并行化是本书的重点实践环节。我们详细阐述了如何将这些抽象的数学结构转化为可以在现代多核CPU和GPU上高效运行的代码。这包括： 1. 内存访问优化：针对层次化矩阵结构，设计了专门的缓存感知型算法，最大化L1/L2缓存的利用率，减少主存访问延迟。 2. 并行计算策略：探讨了如何将矩阵-向量乘法（MVM）和矩阵-矩阵乘法（MMM）在不同层次的近似矩阵上进行并行化。对于低秩修正项，我们采用了基于小矩阵乘法的并行化方案；对于对角块的稠密运算，则利用了BLAS级别的优化库。 3. GPU加速：提供了将层次化矩阵运算移植到CUDA/OpenCL平台的具体案例分析，重点关注线程块的负载均衡和全局内存的有效使用。最后，本书通过一系列真实世界的应用案例来验证这些优化技术的有效性。我们展示了这些技术在加速大规模电磁散射问题求解、分子动力学模拟中的长程相互作用计算以及高维数据的核矩阵处理中的显著性能提升。通过与传统稠密求解器和标准稀疏求解器的对比，读者将清晰地看到结构化近似矩阵在计算复杂度和内存需求上带来的根本性变革。本书面向对象包括数值线性代数的博士研究生、从事高性能计算和科学建模的工程师、以及对算法效率有极高要求的软件开发者。它要求读者具备扎实的线性代数基础和对计算复杂性有基本认识，旨在提供一个从理论到实践，全面掌握现代矩阵优化和稀疏化技术的权威指南。