Groups as Galois Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Volklein, Helmut

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:2008-6

价格:$ 63.28

装帧:

isbn号码:9780521065030

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Group theory
• Field theory
• Algebra
• Abstract algebra
• Mathematics
• Number theory
• Algebraic extensions
• Finite groups
• Polynomials

《群论基础与代数结构》 作者： [此处填写一个虚构的作者名，例如：亚历山大·里德] 出版社： [此处填写一个虚构的出版社名，例如：现代数学出版社] 出版年份： [此处填写一个虚构的年份，例如：2023] --- 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的群论基础，特别是侧重于抽象代数框架内群结构的构建、分类及其在不同数学分支中的应用。本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与概念的清晰度，适合高等院校本科生、研究生以及对纯数学有浓厚兴趣的自学者。 本书首先从集合论的基本概念出发，系统地引入群的定义、基本性质以及初等例子。我们将详细探讨子群、陪集与拉格朗日定理，这些是理解群内部结构的关键基石。随后，我们深入研究正规子群与商群的构造，展示如何通过这些工具来分解复杂的群结构，并引入同态与同构的概念，探讨群之间的结构性联系。 第一部分：群论的基石 第一章：群的公理化定义与实例 本章首先回顾集合、映射和二元运算的基础知识，随后严格定义群的四个公理（封闭性、结合律、单位元和逆元）。我们将通过具体的代数结构来阐释这些定义，包括： 整数加法群 ($mathbb{Z}, +$) 与乘法群 ($mathbb{Z}_n^, imes$)： 探讨有限与无限群的差异。 对称群 ($S_n$) 与交错群 ($A_n$)： 详细介绍置换群的结构，这是理解有限群理论的起点。 矩阵群 ($GL_n(mathbb{R})$ 或 $SL_n(mathbb{F})$)： 引入基于线性代数的群结构。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 本章是群论计算的核心。我们详细分析子群的判别法，并引出中心和中心化子的概念，它们度量了群元素与中心元素之间的“距离”。陪集的引入不仅是为了后续的商群构造，更是理解群阶数分布的必要步骤。拉格朗日定理的证明及其在计算有限群阶数中的应用将被充分讨论。此外，还会介绍循环群的结构，证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 第三章：生成元、关系与群的表示 我们转向使用生成元和关系来描述群结构，介绍群表示的初步概念，即如何用矩阵来表示抽象的群元素，为后续更高级的应用（如表示论的初步接触）打下基础。 第二部分：结构分解与分类 第四章：正规子群、商群与第一同构定理 本章聚焦于群的分解。我们严格定义正规子群的条件，并展示其在定义商群时的必要性。第一同构定理（或称基本同态定理）将被详细阐述和证明，它揭示了同态、核与像之间的内在联系，是连接不同群结构的桥梁。在此基础上，我们还会介绍第二和第三同构定理，构建一个完整的同构定理体系。 第五章：群的直积与半直积 我们探讨如何从已知的群构造出新的群。直积（Direct Product）提供了一种直接组合群结构的方法。更具灵活性的是半直积（Semi-Direct Product），它允许我们在一个群作用于另一个群的背景下构造群。我们将通过具体的例子，如二面体群 ($D_n$) 和四元数群 ($mathbb{H}$)，来展示半直积在描述非对易群中的强大作用。 第六章：西洛夫定理：有限群分类的关键 西洛夫定理是有限群结构理论的巅峰成就。本章将详尽阐述三个西洛夫定理（关于 $p$-Sylow 子群的存在性、共轭类数量以及子群间的关系）。我们将应用这些定理来确定特定阶数的群的可能结构，例如，证明阶数为 $p^2$ 的群是阿贝尔群，并探讨非阿贝尔群的例子。西洛夫定理的应用贯穿了整个有限群分类的思路。 第三部分：群作用与经典应用 第七章：群作用与轨道-稳定子定理 本章将群的动态特性——群作用——引入视野。我们定义左作用、右作用，并探讨作用的性质（如传递性、自由性）。轨道-稳定子定理是理解作用下集合划分的关键工具，其证明将依赖于群的陪集理论。柯西定理（如果 $p$ 整除 $|G|$，则 $G$ 存在阶为 $p$ 的元素）将作为群作用的一个重要推论。 第八章：伯恩赛德引理与计数问题 伯恩赛德引理（或称轨道计数引理）是群作用在计数问题上最著名的应用。我们将详细解释其背后的群论原理，并应用它来解决经典的组合学问题，例如：用不同方式给立方体的面着色、项链的计数等。这部分内容展示了抽象群论如何直接服务于离散数学和组合学的具体问题。 第九章：阿贝尔群的结构分类 对于阿贝尔群，由于其结构相对简单，我们可以给出完备的分类。本章将引入自由阿贝尔群的概念，并阐述基本定理（Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups）。该定理表明任何有限生成阿贝尔群都同构于一组循环群的直积（形如 $mathbb{Z}_{n_1} imes mathbb{Z}_{n_2} imes dots imes mathbb{Z}_{n_k} imes mathbb{Z}^m$）。我们将使用初等因子理论来证明这一核心结论。 附录与展望 本书最后包含了一个关于单群的简要历史概述，以及对表示论（Representation Theory）的初步介绍，指出在物理学和化学中群表示法的核心地位。同时，附录中提供了大量的练习题，覆盖了从基础计算到高级证明的各个层面，旨在巩固读者对抽象概念的掌握。 本书的编写风格力求清晰、精确，通过大量的例子和清晰的图示来辅助复杂的代数概念，帮助读者构建起一个坚实且灵活的群论知识体系。

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