Handbook of Categorical Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Borceux, Francis

出品人:

页数:464

译者:

出版时间:2008-4

价格:$ 110.74

装帧:

isbn号码:9780521061223

丛书系列:

图书标签:

• Category Theory
• Algebra
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Mathematical Logic
• Set Theory
• Universal Algebra
• Algebraic Structures
• Foundations of Mathematics
• Pure Mathematics

抽象代数与现代数学的基石：范畴论的深刻洞察 《范畴代数手册》 是一本旨在为读者深入剖析抽象代数核心概念——范畴论（Category Theory）的权威性著作。本书并非对某一特定数学分支的简单综述，而是将范畴论作为一种通用语言和深刻的哲学框架，来统一和阐释现代数学的结构与联系。 第一部分：范畴论的语言与基础结构 本书的开篇部分致力于建立范畴论坚实的基础，使读者能够熟练运用其语言来描述数学对象及其之间的关系。 第一章：范畴的定义与基本概念 本章详细界定了“范畴”的严格定义，包括对象（Objects）、态射（Morphisms）的精确含义，以及复合（Composition）与恒等态射（Identity Morphisms）的公理化结构。我们探讨了如何将集合论、拓扑学、群论等传统数学领域快速“范畴化”，展示范畴论作为“数学的数学”的潜力。关键概念如：同构（Isomorphisms）、内射（Injective）与满射（Surjective）态射在范畴语境下的重新审视被置于核心地位。 第二章：子范畴、积与余积 此章深入探讨了范畴内部的构造性元素。我们首先介绍了子范畴（Subcategories），包括满子范畴（Full Subcategories）、忠实子范畴（Faithful Subcategories）和全纯子范畴（Fully Faithful Subcategories），这些概念对于理解不同数学理论之间的关联至关重要。随后，本书详细剖析了“极限”（Limits）与“余极限”（Colimits）的概念，着重阐述了积（Products）和余积（Coproducts，即不交并或直和）在任意范畴中的构造方式。通过大量具体实例，如集合范畴 ($mathbf{Set}$) 中的笛卡尔积和不交并，以及拓扑空间范畴 ($mathbf{Top}$) 中的不交并，读者将领会极限和余极限作为普遍化构造的威力。 第三章：函子与自然变换 函子（Functors）是范畴论的核心，它们是连接不同范畴的“结构保持映射”。本章区分了协变函子（Covariant Functors）和反变函子（Contravariant Functors），并解释了它们如何将一个范畴的结构（对象和态射）映射到另一个范畴中。在此基础上，我们引入了自然变换（Natural Transformations）——衡量两个函子之间“一致性”的态射。本书详细分析了自然同构（Natural Isomorphisms）在代数结构分类中的关键作用，并以笛卡尔积的交换性为例，展示自然性的深刻意义。 第二部分：范畴论的对偶性与普遍性 本书的第二部分转向范畴论中更为抽象和强大的工具，这些工具揭示了数学真理的内在对称性。 第四章：伴随函子 伴随函子（Adjoint Functors）被誉为范畴论中最具洞察力的概念之一。本章首先定义了左伴随（Left Adjoint）和右伴随（Right Adjoint）函子对。我们深入探讨了伴随关系通过“同构的自然性”所体现出来的普遍性。书中详细分析了伴随关系在代数结构构建中的核心地位，例如自由群（Free Groups）的构造是遗忘函子（Forgetful Functor）的左伴随，而自由对象的构造则依赖于此。伴随理论不仅统一了张量积、极限构造等现象，更揭示了构造性数学与存在性数学之间的深层联系。 第五章：等价性、粘附与分解 本章关注范畴之间的等价关系。我们精确定义了范畴的等价性（Equivalence of Categories），并区分了它与同构的不同。一个重要的主题是“粘附”（Adjunction）的推广——范畴的粘附描述了如何通过一系列“局部”结构来构建一个“全局”结构。此外，书中还介绍了分解理论，例如如何将一个复杂的范畴分解为更简单、更易于理解的组成部分，这对于代数拓扑和代数几何中的研究至关重要。 第六章：特殊范畴的性质 为了将理论与具体实践相结合，本章探讨了具有特殊性质的范畴： 阿贝尔范畴 (Abelian Categories)： 这是同调代数（Homological Algebra）的自然背景。我们详细讨论了核（Kernels）、上核（Cokernels）以及短正合序列（Short Exact Sequences）的构造，并解释了它们如何提供研究链复形（Chain Complexes）的基础。 预加法范畴 (Preadditive Categories) 与加法范畴 (Additive Categories)： 探讨了态射集上具有加法结构的情况，这是群范畴和模范畴等重要代数范畴的共同特征。 第三部分：内部结构与更高级主题 最后一部分将范畴论的应用拓展到更抽象的领域，涉及如何利用范畴论来定义和研究内部结构。 第七章：幂对象、积射和完备性 本章聚焦于范畴内部的“函数空间”概念。我们引入了笛卡尔闭范畴（Cartesian Closed Categories, CCC），阐明了指数对象（Exponential Objects）或幂对象（Power Objects）的构造，这使得CCC成为描述λ-演算和类型论的理想框架。随后，本书探讨了完备范畴（Complete Categories）和余完备范畴（Cocomplete Categories），即那些所有极限和余极限都存在的范畴。我们将完备性与构造过程的“封闭性”联系起来。 第八章：单子（Monads）与代数结构 单子（Monads）是范畴论中描述“代数结构”的通用工具。本章从函子间的自然变换出发，定义了单子的严格结构（单位元和乘法）。随后，我们详细阐述了代数结构的范畴化，即如何通过一个单子来精确定义一类代数结构（例如群、环、半群）。著名的“三元组（Triple）”构造被深入分析，它展示了如何从任何一个范畴和相关联的单子中，重建出具有相应代数结构的子范畴。这为理解泛代数（Universal Algebra）提供了高度统一的视角。 结论：展望与应用领域 本书的结尾总结了范畴论在不同数学领域的核心贡献，包括代数拓扑中的同调理论、代数几何中的概形理论（Schema Theory，其中预层[Sheaves]的概念是范畴论的应用），以及数学基础中的类型论和逻辑学。通过建立这套严谨的语言，《范畴代数手册》 旨在使读者不仅掌握范畴论的工具，更能以一种全新的、结构化的视角来理解整个数学图景的内在和谐与对偶性。

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