Texas TAKS Exit-Level Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Research and Education Association

出品人:

页数:294

译者:

出版时间:2008-7

价格:$ 18.02

装帧:

isbn号码:9780738604442

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• TAKS
• 退出考试
• 德克萨斯州
• 高中
• 考试准备
• 教育
• 学习
• 测试
• 评估

深入理解与高效备考：高等代数与离散数学精要 一本面向资深学习者、研究生以及需要深入理解数学理论基石的专业参考书 核心内容聚焦于抽象代数结构、现代逻辑推理以及图论与组合学的严谨论述，旨在构建坚实的数学理论框架，而非基础的代数运算或标准化的考试技巧。 --- 第一部分：群论与环论的严谨探索 (Algebraic Structures: Rigor and Application) 本卷致力于对抽象代数的核心概念进行深刻的剖析与拓展，着重于理论的严密性和结构间的内在联系。我们不满足于仅仅介绍基本定义，而是深入探讨代数结构的内在性质、同态的本质以及模论的基础。 第一章：群论的深度剖析 (Deeper Dive into Group Theory) 本章从集合论的基础出发，迅速过渡到群的定义、子群、陪集与拉格朗日定理的理论证明与推广。重点突破部分包括： Sylow定理的完整证明与应用： 详细阐述了三个Sylow定理的构造性证明，并展示其在判断有限群结构（如非交换群的唯一性问题）中的关键作用。 有限交换群的结构定理： 深入探讨了任意有限阿贝尔群都可以分解为初等因子群（Elementary Divisor Groups）的直积，并将其与有理数域上的模联系起来，为理解更复杂的代数对象打下基础。 群作用与轨道-稳定化子定理的拓展： 探讨了群作用在拓扑空间、微分方程解集上的应用，特别是伽罗瓦群在多项式根式求解中的理论地位，而非仅仅是计算简单的置换群。 自由群与范畴论的初步接触： 介绍自由群的构造，并简要引入范畴论的概念，将群视为特定范畴中的对象，理解同态的普遍性。 第二章：环、域与模 (Rings, Fields, and Modules) 本部分侧重于代数结构复杂性的提升，聚焦于理想的性质、域的扩张以及模块化理论。 理想的结构与分解： 详细区分了主理想域（PID）、唯一因子域（UFD）和诺特定环（Noetherian Rings）的定义和相互关系。重点阐述了Hilbert 零点定理的背景和意义，尽管我们不涉及代数几何的全部内容，但理解诺特定性是至关重要的。 域扩张理论： 不仅停留在有限域扩张，而是深入探讨了伽罗瓦扩张、可解群的域扩张，并完整地论证了三次和四次方程有根式解的代数条件（通过伽罗瓦群的性质）。 模块理论基础： 将向量空间的概念推广到环上的模。讨论了射模（Projective Modules）、内射模（Injective Modules）和投射分解的概念，这是深入理解同调代数的前提。 --- 第二部分：离散数学的逻辑基础与结构化方法 (Foundations of Discrete Mathematics) 本部分完全侧重于形式逻辑、算法复杂度的理论分析以及图论的经典结构及其拓扑属性。 第三章：数理逻辑与证明的艺术 (Mathematical Logic and the Art of Proof) 本章旨在培养读者对数学陈述的精确理解和严格的逻辑推理能力。 一阶逻辑的完备性与紧致性： 深入探讨了哥德尔完备性定理的证明思路，并阐述了紧致性定理在模型论中的地位，例如构造不可数模型的例子。 递归论与可计算性理论： 介绍图灵机模型的精确定义，并深入探讨停机问题的不可判定性。通过布赫巴姆-诺尔定理（Büchi-Noël Theorem）讨论有限自动机与正则语言的关系。 模型论与基本结构： 探讨了逻辑语言和结构之间的关系，如何通过逻辑公式来描述和区分不同的代数结构（如群、环）。 第四章：图论的拓扑与组合优化 (Topological Graph Theory and Combinatorial Optimization) 本章超越了基本的连通性判断，聚焦于图的内在拓扑属性和高级组合应用。 连通性、嵌入与亏格理论 (Genus Theory)： 详细讨论了亏格的概念，分析了平面图、嵌入图的Kuratowski定理（排除$K_5$和$K_{3,3}$）的深层意义。引入欧拉公式的推广在曲面上的应用。 匹配、覆盖与网络流理论的严格化： 重点论述Hall's Marriage Theorem的证明，并将其扩展到更一般的二分图匹配问题。对Ford-Fulkerson算法的收敛性和最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）进行复杂度分析。 着色问题的高级结果： 不仅限于四色定理，而是深入探讨布鲁克定理（Brooks' Theorem）的证明及其对图的结构限制，以及对偶图在平面图着色中的应用。 第五章：高级组合学与生成函数 (Advanced Combinatorics and Generating Functions) 本章强调通过代数工具解决计数问题，侧重于严谨的推导而非简单的公式套用。 普适性生成函数（Ordinary Generating Functions）的极限应用： 探讨如何使用微积分工具（如留数定理）来估计组合序列的渐近行为，例如对卡特兰数或二项式系数的精确估计。 指数生成函数与排列组合： 阐明指数生成函数在处理带标记对象（如标签集合、排列）时的核心作用，并将其应用于指数求和公式的推导。 容斥原理的进阶形式： 介绍反演公式（Inversion Formulas），包括莫比乌斯反演公式，并展示其在集论计数和代数结构计数中的有效性。 --- 目标读者： 本书面向的是已经掌握微积分、线性代数和基础离散数学概念，希望向纯数学研究、理论计算机科学（如形式语言、复杂性理论）或高级工程建模方向发展的专业人士。它提供了通往更高层次数学领域的阶梯，强调的是“为什么”和“如何证明”，而非“是什么”和“如何计算”。本书的结构严谨，推导详细，要求读者具备扎实的数学阅读和抽象思维能力。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆