具体描述
好的，以下是一本名为《概率论与随机过程基础》的图书简介，其内容完全不涉及《Stochastics》一书中的任何概念或具体内容。 --- 概率论与随机过程基础 作者： 深入浅出数学研究组 出版社： 科学前沿出版社 ISBN： 978-1-23456-789-0 内容简介 《概率论与随机过程基础》是一本全面而深入的教材，旨在为读者打下坚实的概率论和随机过程的理论基础，并引导他们掌握分析和应用这些工具解决实际问题的能力。本书特别侧重于构建清晰的数学框架，辅以丰富的实例，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“为什么”和“如何做”。 本书的结构设计遵循由浅入深、循序渐进的原则。我们从概率论的基本概念出发，逐步过渡到更复杂的随机现象建模。全书共分为七个主要部分，涵盖了概率论的核心内容、随机变量的理论，以及随机过程的经典模型。 第一部分：概率论的基本要素 本部分致力于为读者构建一个严谨的概率论基础。我们从集合论的视角出发，定义了概率空间，包括样本空间、事件域和概率测度。重点阐述了概率的公理化定义，并详细讨论了条件概率和贝叶斯定理的实际意义与应用。为了避免在后续内容中产生歧义，我们详尽地分析了独立事件的概念及其在多重试验中的应用。此外，本部分还引入了随机变量的基本概念，将其作为连接纯概率空间和函数空间的关键桥梁。读者将学习如何使用测度论工具来理解和构造概率模型。 第二部分：随机变量与分布函数 本部分深入探讨了随机变量的分类和性质。我们详细区分了离散型随机变量和连续型随机变量，并清晰界定了它们的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。书中的一大亮点是对累积分布函数（CDF）的全面解析，强调了CDF在统一处理所有类型随机变量中的重要性。 我们用大量的篇幅介绍了几个核心的一维分布，包括伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布。每种分布都配有详细的推导过程、矩的计算（期望、方差）以及在特定物理或工程问题中的模型构建示例。 第三部分：多维随机变量与联合分析 现实世界中的现象往往是相互关联的。本部分将分析扩展到多个随机变量的情况。我们详细阐述了联合概率分布的概念，包括联合PMF和联合PDF，并探讨了边缘分布的求法。 随机变量的函数的分布求解是本部分的难点之一，我们提供了几种系统性的方法，如变量代换法和特征函数法，并详细演示了如何利用这些方法计算复合随机变量的分布。期望的线性性质和协方差的计算被强调，为后续的回归分析和维度简化奠定了基础。 第四部分：收敛性与大数定律 概率论的精髓在于描述大量重复试验下的极限行为。本部分专注于随机变量序列的收敛性。我们清晰地区分了依概率收敛、几乎必然收敛和依分布收敛，并给出了它们之间的相互关系和证明。 中心极限定理（CLT）作为概率论的基石，被赋予了重点讨论。本书不仅介绍了标准形式的CLT，还探讨了其更一般的形式，并展示了如何利用它来估计未知参数和构建置信区间。大数定律，包括强大数定律和弱大数定律，被用来论证样本均值在长期的统计行为中的稳定性。 第五部分：随机过程基础——离散时间模型 本部分将研究对象从静态的随机变量扩展到随时间演化的随机过程。我们首先从离散时间模型入手，引入随机序列的概念。 重点介绍了马尔可夫链，作为时间序列建模的基石。我们详细解析了转移概率矩阵、一步转移概率、多步转移概率以及状态分类（正常、瞬态、吸收态）。对稳态分布和遍历性的分析，使读者能够理解系统在长期运行后的平衡状态。此外，本部分还简要介绍了鞅（Martingale）的基本概念，作为分析序列公平性的重要工具。 第六部分：随机过程基础——连续时间模型 本部分转向连续时间随机过程，这是分析动态系统和自然现象的关键。我们首先介绍了连续时间马尔可夫链（CTMC），强调了生成矩阵和无穷小生成元在描述过程瞬时变化中的作用。 泊松过程作为描述事件随机到达的最重要模型，获得了详尽的论述，包括其独立增量性和平稳增量性。我们还探讨了泊松过程的复合应用。 第七部分：布朗运动与应用模型 本部分介绍了维纳过程（标准布朗运动），将其定义为一类具有连续路径的随机过程。布朗运动在金融数学、物理扩散和噪声理论中扮演着核心角色。我们详细分析了布朗运动的路径性质，如二次变差和首次击中时间。 最后，本书在随机微积分的边缘进行了一次初步的探索，展示了如何利用布朗运动来定义随机积分，并简要提及了伊藤引理在解决随机微分方程（SDEs）中的威力。 本书特色 1. 严谨性与直观性的平衡： 本书在保证数学严谨性的同时，力求通过清晰的图示和解释，使复杂的概念易于理解。 2. 丰富的例题与习题： 每章末尾都附有大量的练习题，涵盖计算、证明和建模应用，以巩固学习效果。 3. 跨学科的视野： 虽然本书是概率论的基础教材，但其中的模型和分析方法广泛应用于物理学、工程学、计算机科学（如算法分析）和统计推断等多个领域。 目标读者 本书适用于大学高年级本科生和研究生，尤其适合数学、统计学、物理学、工程学（电子、通信、控制）以及计算机科学等专业对随机现象建模有需求的读者。扎实的微积分和线性代数基础是阅读本书的前提。
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