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出版者:

作者:Lial, Margaret L./ Hornsby, John/ Schneider, David I./ Daniels, Callie J.

出品人:

页数:1264

译者:

出版时间:2008-2

价格:$ 224.50

装帧:

isbn号码:9780321528841

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

深入探索：超越代数的数学之旅 《超越代数：高等数学导论》 图书简介 在这本精心编排的著作中，我们将带领读者踏上一段引人入胜的数学探索之旅，其重点在于巩固和扩展传统代数基础知识，并为更高级的数学领域——如微积分、线性代数和离散数学——奠定坚实而灵活的基石。本书的设计旨在满足那些已经掌握了核心代数概念，并渴望深入理解数学原理如何在更广阔的数学结构中发挥作用的学习者。我们刻意避开了对标准预备微积分（Precalculus）核心内容的直接重复或照搬，而是将视角聚焦于那些能真正激发数学思维、培养问题解决能力的关键衔接领域。 本书并非对三角函数或多项式方程的简单复习，而是着重于函数的深层结构、逻辑推理的严谨性以及数学建模的艺术。 第一部分：函数与映射的深刻解析 我们从函数概念的更抽象层面开始。传统的预备课程可能只是教会如何“画图”和“求解”，而本书则深入探讨了函数的性质、分类及其在不同数学分支中的角色。 1. 函数的类别与同构性探索： 我们不仅仅讨论线性函数、二次函数，而是将重点放在了超越函数（Transcendental Functions）的严格定义及其在建模物理世界中的关键作用。重点分析对数函数和指数函数的极限行为，以及它们如何作为解决增长与衰减问题的核心工具。更进一步，我们探讨了函数域、值域的拓扑理解，并引入了函数的反演性（Invertibility）和单射性/满射性的严谨证明方法。 2. 复合函数的深度分析与链式法则的直觉构建： 虽然链式法则在微积分中是计算导数的关键，但本书在引入其计算之前，会首先从集合论和映射的角度来解析复合函数的本质。我们探讨了复合运算的结合律和分配律在函数空间中的体现，并使用直观的图形和实际应用场景（如传感器信号处理）来建立对“信息传递链”的深刻理解。 3. 序列、级数与收敛性的初步接触： 本书用一整章的篇幅来审视离散结构。我们超越了简单的等差、等比级数求和。重点在于序列的极限概念（为未来的分析做铺垫），并引入了Cauchy序列的直观理解。我们探讨了周期性序列的性质，以及如何使用这些工具来分析周期现象（如振动）。 第二部分：几何与代数的交汇：从解析几何到向量空间初探 本部分旨在弥合纯代数与空间几何之间的鸿沟，并为线性代数的引入做准备。 4. 极坐标系与参数方程的威力： 抛弃对标准圆锥曲线的机械化描述，我们专注于参数方程在描述动态系统中的优势。例如，如何使用参数方程来精确描述抛射体的运动轨迹，或者描绘复杂的、非函数形式的曲线（如摆线或星形线）。我们详细分析了极坐标系下旋转和平移的代数表示，以及这种坐标变换如何简化复杂方程的解析。 5. 空间几何的代数基础：三维坐标系与向量基础： 本书引入了三维笛卡尔坐标系，并着重于向量的几何意义——方向和大小。我们详细讨论了向量的加减法、标量乘法，并引入了点积（内积）作为衡量两个方向之间“相似度”的代数工具。这不仅是为了计算投影，更是为了理解正交性在几何和物理中的根本重要性。 6. 矩阵的初步认知：变换的语言： 在不进行完整的线性代数运算的前提下，我们引入2x2 矩阵作为二维平面变换的代数表示。读者将学习如何用矩阵来表示旋转、拉伸和剪切操作。通过直观地观察矩阵乘法如何对应于连续的几何变换，读者可以建立对矩阵作为“操作符”的早期认识，而不是仅仅视为一个数字表。 第三部分：超越数的界限：复数与多项式的深入研究 本部分聚焦于扩展实数系统，并探索多项式方程根的深层结构。 7. 复数系统的代数与几何统一： 我们不仅教授复数的加减乘除，更重要的是引入复平面的几何解释。我们详细分析了复数的乘法如何对应于极坐标系中的旋转与缩放。这使得读者能够直观地理解棣莫弗定理（De Moivre's Theorem）的几何推导，以及单位根的对称性。 8. 多项式理论与根的存在性： 本书超越了求解二次方程，转向高次多项式的根的性质。我们深入讨论了有理根定理，并利用因式定理和余数定理来高效地分解多项式。重点在于根与系数之间的关系（韦达定理的推广），这在需要估计根的性质而不实际求解时极为强大。 第四部分：逻辑、证明与数学思维的培养 本部分是本书区别于传统计算导向课程的关键所在，它专注于培养数学家的严谨性。 9. 命题逻辑与证明的结构： 我们引入了命题逻辑的基本术语：蕴含式、双条件式、逆否命题。读者将学习如何识别逻辑谬误，并掌握直接证明、反证法（Proof by Contradiction）和数学归纳法这三大核心证明技术。这些技术将用于证明之前在代数和几何中“不证自明”的结论。 10. 离散结构中的计数原则：排列与组合的严谨性： 我们不会停留在简单的P和C公式，而是将重点放在鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的应用，以及二项式定理的严格推导。通过分析复杂事件的相互独立性与互斥性，培养读者在不确定情况下进行精确计数的逻辑框架。 总结： 《超越代数：高等数学导论》旨在为有志于深入学习数学、科学或工程领域的学生搭建一座坚实的桥梁。它要求读者放弃对机械计算的依赖，转而拥抱概念的深度、结构的严谨性以及跨领域知识的融合。这本书不仅仅是为“下一个课程”做准备，更是为培养终身的问题解决者所需的数学直觉和逻辑能力奠定基础。

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