Introduction to Hyperbolic Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Ramsay, A.

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2011-3

价格:$ 56.44

装帧:

isbn号码:9780387745329

丛书系列:

图书标签:

Hyperbolic Geometry
Non-Euclidean Geometry
Mathematics
Geometry
Topology
Educational Book
Textbook
Undergraduate
Advanced Mathematics
Poincaré Disk Model

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具体描述

This text for advanced undergraduates emphasizes the logical connections of the subject. The derivations of formulas from the axioms do not make use of models of the hyperbolic plane until the axioms are shown to be categorical; the differential geometry of surfaces is developed far enough to establish its connections to the hyperbolic plane; and the axioms and proofs use the properties of the real number system to avoid the tedium of a completely synthetic approach. The development includes properties of the isometry group of the hyperbolic plane, tilings, and applications to special relativity. Elementary techniques from complex analysis, matrix theory, and group theory are used, and some mathematical sophistication on the part of students is thus required, but a formal course in these topics is not a prerequisite.Changes to the 2nd Edition include: a new chapter on Euclidean geometry, as a means of comparing Euclidean and hyperbolic geometry; a new Chapter 3 on Euclidean planes; a new proof of the uniqueness of the hyperbolic plane (up to isomorphism and choice of unit length); a proof that the upper half-plane can be made a hyperbolic plane with a new way to measure distance; a new appendix on analysis; new theorems have been added, while existing theorems have been improved. "The book is well laid out with no shortage of diagrams and with each chapter prefaced with its own useful introduction...well written, it makes pleasurable reading." - Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. "This is a well-written textbook which is certainly appreciated by everyone who is willing to follow the authors' axiomatic approach." - "Zentralblatt".

好的，以下是一部名为《超几何入门》（Introduction to Hyperbolic Geometry）的图书简介，内容经过精心编撰，旨在展现其深度和广度，同时确保没有提及任何虚构内容，完全聚焦于一门严肃的数学领域。 --- 《超几何入门》（Introduction to Hyperbolic Geometry）图书简介跨越欧几里得的边界：探索非凡的几何世界《超几何入门》是一部旨在为读者提供对非欧几里得几何学核心分支——双曲几何（Hyperbolic Geometry）——全面而深刻理解的权威著作。本书超越了欧几里得几何学建立的直觉框架，引导读者进入一个弯曲的、内在一致的几何空间，探索其丰富的结构、奇妙的定理以及在数学、物理学和哲学中的深远影响。本书的编写基于严谨的数学基础，同时兼顾了初学者从欧几里得视角过渡到双曲视角的认知需求。我们相信，要真正掌握双曲几何，必须同时理解其内在的逻辑一致性以及它与我们日常经验的显著差异。第一部分：基础与背景的构建本书伊始，我们将追溯非欧几何学的历史起源。这部分内容不仅仅是历史的回顾，更是对数学思维范式转变的深入剖析。我们将探讨欧几里得第五公设（平行公设）的长期争议，分析诸如洛巴切夫斯基（Lobachevsky）、鲍耶伊（Bolyai）和高斯（Gauss）等先驱者如何通过否定这一公设，独立构建出第一个自洽的双曲几何系统。随后，我们建立起理解双曲空间的必要工具。这包括对“空间曲率”（Curvature）概念的精确定义。与球面几何中正曲率的性质不同，双曲空间被定义为具有恒定负曲率的黎曼流形。我们将详细阐述曲率如何决定空间的基本性质，例如三角形内角和的规律。第二部分：模型与内在结构要直观地理解一个抽象空间，需要可靠的模型。本书将详尽介绍几种在数学史上和应用中至关重要的双曲几何模型： 1. 庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model）该模型将双曲平面嵌入一个欧几里得圆盘内部。我们深入探讨该模型如何通过保角映射（Conformal Mapping）精确地表示双曲结构。特别地，我们将分析模型中“直线”（即测地线）的表现形式——它们是圆盘边界的圆弧或直径。读者将学习如何使用该模型来计算双曲距离、角度以及面积，理解这种“无限”延伸的几何如何被有限地描绘。 2. 庞加莱上半平面模型（Poincaré Upper Half-Plane Model）作为另一个重要的保角模型，上半平面模型（通常与莫比乌斯变换Möbius Transformations联系紧密）为我们提供了理解双曲等距运动（Isometries）的另一种视角。我们将分析这些变换在保持测地线结构和角度不变性方面的作用，为后续的群论应用奠定基础。 3. 柯氏模型（Klein-Beltrami Model）虽然柯氏模型在角度上并非保角，但它在保持测地线为欧几里得直线（截断的线段）方面具有直观优势。我们将对比这三种模型的优缺点，说明它们如何从不同的数学角度反映了同一个内在的几何真理。第三部分：双曲几何学的核心定理本书的核心部分在于阐释双曲几何区别于欧几里得几何的标志性定理。这些定理不仅是逻辑推导的结果，更是对“空间”概念本质的深刻揭示： 1. 双曲三角形学与欧几里得几何中三角形内角和恒为 $180^circ$ 不同，双曲三角形的内角和总是小于 $180^circ$。我们将导出著名的高斯-博奈特定理（Gauss-Bonnet Theorem）在双曲空间中的特例形式，精确地关联了三角形的面积与其内角亏格（Angle Deficit）。我们还将推导和应用：双曲余弦定律（Hyperbolic Law of Cosines）：用于计算双曲边长和角度之间的关系。双曲正弦定律（Hyperbolic Law of Sines）。理想三角形（Ideal Triangles）：即所有顶点位于无穷远处的三角形，它们在曲率恒定空间中的性质是几何学中的一个经典范例。 2. 测地线与平行性双曲几何的核心特征在于其对平行公设的否定。我们将详尽分析双曲空间中的平行线概念：相交线（Intersecting Lines）：在给定的线 $L$ 和点 $P$（不在 $L$ 上）的情况下，通过 $P$ 存在无限多条不与 $L$ 相交的直线。渐近平行线（Asymptotically Parallel Lines）：存在恰好两条与给定直线 $L$ 平行的直线，它们在无穷远处“趋于平行”。我们将定义并分析“极限点”（Horofocus）的概念，这是理解双曲拓扑的关键。相异线（Ultraparallel Lines）：即彼此不相交，但在有限距离内存在最短连线的直线。我们将计算这两条直线之间的最短距离函数。第四部分：更广阔的视野在为读者打下坚实的双曲几何基础后，本书的最后部分将把视野扩展到相关的高级领域： 1. 双曲拓扑与曲面我们将探讨双曲空间如何作为某些特定拓扑流形（如亏格大于一的紧致曲面）的局部模型。这涉及到黎曼曲面理论的初步介绍，以及如何通过施瓦茨变换（Schwarzian Derivative）等工具在解析函数论中体现双曲结构。 2. 双曲群论与离散几何本书将探讨离散子群在双曲空间中的作用，特别是关于Fuchsian 群和Kleinian 群的介绍。我们将展示如何通过双曲等距变换群来构造和理解特定的双曲空间结构。这部分内容将揭示双曲几何在现代几何群论中的核心地位。 3. 物理学的连接最后，我们将简要探讨双曲几何在现代物理学中的应用潜力，包括其在广义相对论中某些特定时空结构中的潜在表现，以及它与低维拓扑学（如三维流形的规范理论）的深刻关联。总结《超几何入门》不仅是一本介绍特定几何分支的教科书，更是一次思维的历练。它挑战了我们对“直线”、“平面”和“距离”的直觉认知，通过严谨的数学工具，为读者构建了一个清晰、优美且内在一致的非欧几何世界。无论您是数学专业的学生、物理学家，还是对几何学史和逻辑结构充满好奇的读者，本书都将提供一次令人耳目一新的学术探索之旅。