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These authors understand what it takes to be successful in mathematics, the skills that students bring to this course, and the way that technology can be used to enhance learning without sacrificing math skills. As a result, they have a created a textbook with an overall learning system involving preparation, practice, and review to help students get the most out of the time they put into studying. In sum, Sullivan and Sullivan's Algebra and Trigonometry: Enhanced with Graphing Utilities gives students a model for success in mathematics.
好的，这是一本名为《Calculus: Early Transcendentals with Applications》的图书简介，重点突出其与您的《Algebra and Trigonometry Enhanced with Graphing Utilities》不同的内容和深度，并力求详实、自然。 --- 《微积分：早期超越函数与应用》 提升数学思维的坚实阶梯 《微积分：早期超越函数与应用》 旨在为读者提供一个全面而深入的微积分学习体验。本书的核心目标是构建坚实的理论基础，同时通过丰富的应用实例，展示微积分在科学、工程、经济乃至日常生活中的强大威力。本书的结构经过精心设计，确保学习者能够平稳地从代数和三角学的知识过渡到高等数学的严谨性中。 聚焦核心概念与理论深度 本书的叙事围绕微积分的两大支柱——微分学和积分学——展开，并策略性地引入了超越函数（如指数函数、对数函数和三角函数）的深度分析。我们相信，对这些函数的深入理解是掌握微积分概念的关键。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本书的开篇并不急于介绍导数，而是花费大量篇幅来夯实极限（Limits）的概念。我们细致地探讨了 $epsilon-delta$ 定义的严格性，这对于培养数学的精确思维至关重要。我们不仅展示了如何计算直观极限，更重要的是，教会读者如何构建严谨的证明。随后，我们过渡到连续性（Continuity）的讨论，详细阐述了介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大值-最小值定理（Extreme Value Theorem）的意义及其在函数分析中的应用。 第二部分：微分学——瞬时变化率的艺术 在确立了极限的严格基础后，本书转向导数（Derivatives）。我们从平均变化率的概念出发，自然而然地引出导数的定义。本书的重点在于： 1. 求导法则的系统推导： 幂法则、乘积法则、商法则以及链式法则的推导过程被详尽阐述，确保读者理解公式背后的几何和代数意义，而非仅仅记忆公式。 2. 超越函数的导数： 鉴于本书聚焦“早期超越函数”，我们对 $e^x, ln(x), sin(x), cos(x)$ 等函数的导数进行了详尽的处理，包括它们的级数展开（作为预备知识或早期引入的激励点），并探讨了它们在复合函数中的应用。 3. 应用中的洞察力： 导数的应用部分远超简单的优化问题。我们深入探讨了相关变化率（Related Rates）、隐函数求导（Implicit Differentiation），以及洛必达法则（L'Hôpital's Rule）在处理未定式极限时的强大作用。此外，曲线的分析——包括凹凸性、拐点、以及描绘函数图线——都建立在二阶导数的基础上，展现了导数在函数行为预测中的关键地位。 第三部分：积分学——累积与面积的宏大视角 积分学的引入遵循了黎曼和（Riemann Sums）的构建过程，使读者清晰地认识到定积分是如何从无限求和的概念中产生的。 1. 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）： 这是本书的核心高潮之一。我们详细区分了微积分第一基本定理（连接导数与定积分的桥梁）和第二基本定理（用于计算定积分的实际工具）。定理的证明不仅是理论的展示，更是对微分和积分之间“互逆”关系的深刻揭示。 2. 积分技巧的精湛掌握： 积分技巧的难度通常是学生学习微积分时面临的主要障碍。本书提供了全面的策略和大量的示例： 换元法（Substitution Rule）： 视为链式法则的逆过程。 分部积分法（Integration by Parts）： 系统地展示如何选择 $u$ 和 $dv$。 三角代换和部分分式分解： 专门章节详细讲解如何处理复杂的有理函数和涉及平方根的积分。 3. 超越函数的积分： 针对指数函数、对数函数和三角函数的积分，提供了专门的练习和案例分析，确保学生能够熟练运用前文推导出的导数关系进行反向操作。 第四部分：应用与拓展——从理论到现实 本书的最后部分将理论知识应用于更复杂的场景，强调数学建模的能力： 面积与体积的计算： 详细介绍了圆盘法、垫片法（Washer Method）和壳层法（Shell Method）在计算旋转体体积上的应用，特别是对于那些难以使用传统方法处理的复杂区域。 工作、压力与流体静力学： 展示了积分如何用于计算物理学中的累积量，如力做功以及流体施加的压力。 微分方程入门： 作为对未来学习的铺垫，本书引入了最基础的一阶常微分方程（ODE），展示如何使用分离变量法求解增长与衰减模型（如牛顿冷却定律或人口增长模型）。 教材特色与学习支持 本书的设计充分考虑了不同学习风格的需求： 详尽的例题分解： 每个关键概念后都附有逐步详述的例题，清晰展示了解题的思路流程。 “概念检验”环节： 在每节课结束时，设置了简短的即时回顾问题，帮助读者立即巩固所学内容。 应用驱动的习题集： 习题分为三类：基础技能（计算和证明）、概念理解（解释和论证），以及应用挑战（建模和实际问题求解）。 图示的精确性： 图形辅助材料经过优化，旨在清晰地展示极限过程、导数的斜率变化、以及积分所代表的面积累积，这些图示是纯粹的视觉辅助，而非依赖于特定的图形计算工具来进行探索。 《微积分：早期超越函数与应用》不仅是一本教授计算方法的教科书，更是一部引导读者体验数学之美的工具书。它要求读者运用代数和三角学的坚实基础，一步步攀登至理解瞬时变化和累积效应的宏伟殿堂。对于那些希望在科学、工程或经济学领域打下坚实数学基础的学习者而言，本书是无与伦比的起点。
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