Nonsmooth Vector Functions and Continuous Optimization pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Jeyakumar, V./ Luc, D. T.

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2007-10

价格:$ 123.17

装帧:

isbn号码:9780387737164

丛书系列:

图书标签:

• 非光滑向量函数
• 连续优化
• 优化理论
• 变分分析
• 非线性规划
• 凸优化
• 数学分析
• 数值优化
• 最优化方法
• 应用数学

精炼分析方法与现代应用：一场关于复杂系统优化的深度探索 内容提要： 本书旨在为研究人员、高级学生以及工程实践者提供一套系统且深入的分析工具与方法论，聚焦于处理那些在传统光滑假设下难以有效求解的复杂优化问题。本书内容涵盖了从基础理论构建到前沿应用实践的完整链条，重点剖析了非光滑分析（Nonsmooth Analysis）的核心概念、关键理论框架及其在现代连续优化（Continuous Optimization）领域的变革性应用。我们将深入探讨凸性与非凸性分析的边界，介绍次梯度（Subgradients）、极限次微分（Limiting Subdifferentials）等关键工具，并展示如何利用这些工具构建和求解实际工程与科学中的非光滑优化模型。 --- 第一部分：非光滑分析的理论基石 (Foundations of Nonsmooth Analysis) 在传统的微积分和优化理论中，我们通常依赖于函数的可微性来运用经典的梯度下降法和拉格朗日乘子法。然而，现实世界中大量的优化问题——例如涉及摩擦、接触、阈值效应、统计估计中的 $ell_1$ 范数惩罚项（如 LASSO）以及依赖于最大值或最小值的复杂目标函数——其表现是非光滑的。本部分将系统地奠定理解和处理这些挑战的理论基础。 1. 凸分析的扩展与深化： 我们将从凸函数开始，回顾其性质，如凸性、凸集、支撑函数（Support Functions）以及 Moreau-Yosida 正则化。随后，重点转向凸分析的泛化，介绍亚线性函数（Sublinear Functions）和闭凸函数（Closed Convex Functions）的概念。 2. 次梯度理论的构建： 次梯度是光滑函数中梯度的直接推广。本书详细阐述了Clarke 意义下的广义梯度（Clarke’s Generalized Gradient）的定义、计算及其基本性质，如线性性、有限性（在局部 Lipschitz 情况下）。我们将严谨证明 Clarke 泛函在满足特定正则条件下的闭性，并探讨其在非光滑凸优化中的核心作用。 3. 非凸非光滑分析的工具箱： 面对更一般的非凸非光滑问题，我们引入更精细的分析工具。深入探讨极限次微分（Limiting Subdifferentials，或称 Mordukhovich 极限次微分）和增长次微分（Asymptotic/Rate-of-Change Subdifferentials）。我们将比较这些不同类型的次微分之间的关系（例如，在函数边界上的区别），并展示它们如何捕获函数局部行为的全部信息，特别是在非凸集合上的切锥（Tangent Cones）的构建。 4. 泛函导数的几何解释： 通过在函数空间中进行分析，本书讲解了非光滑泛函（如变分能量泛函）的泛函导数的概念，这对于处理偏微分方程相关的优化问题至关重要。 --- 第二部分：非光滑问题的连续优化框架 (Continuous Optimization Frameworks for Nonsmooth Problems) 有了坚实的理论基础，本部分将这些分析工具应用于构建和求解具体的优化模型，重点关注迭代算法和收敛性分析。 1. 非光滑凸优化的求解策略： 针对凸优化问题，次梯度方法仍然是最直接的工具。我们详细分析了次梯度下降法（Subgradient Descent Method）的收敛性，包括何时收敛到最优值（取决于步长选择），并引入了次梯度投影法（Subgradient Projection Methods）。更进一步，我们探讨了利用光滑化技术（如 Moreau-Yosida 正则化）将非光滑问题转化为可微问题的策略，以及次梯度外点法（Subgradient Exterior Point Methods）。 2. 非光滑非凸优化的挑战与方法： 非凸问题是研究的难点。本书重点介绍了基于次微分的算法，例如次梯度法与早前步长策略（e.g., Polyak Step Size）的结合。核心内容聚焦于Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 算法的非光滑推广，如 संशोधित BFGS (Modified BFGS) 和拟牛顿法在非光滑约束优化中的应用。我们将分析这些方法的局部收敛性、超线性收敛性，以及如何处理在非光滑点处的激活约束集。 3. 约束优化与罚函数法： 在处理具有不等式或等式约束的非光滑问题时，罚函数法是关键。本书详细分析了非光滑的内点法（Interior Point Methods）和光滑化的外部罚函数法，特别是如何处理非光滑项在约束边界处的行为。我们将介绍增广拉格朗日法（Augmented Lagrangian Method, ALM）在非光滑上下文中的应用，以及交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）在分解大规模非光滑问题中的强大能力。 4. 近端算法（Proximal Algorithms）： 近端算子是处理结构化非光滑性（如 $ell_1$ 范数、熵、截断项）的强大工具。本书深入讲解了近端梯度法（Proximal Gradient Methods, FISTA/ISTA）的原理、加速机制及其在凸问题中的强大性能。对于更一般的非凸问题，我们将探索近端次梯度算法和近端对偶算法的最新进展。 --- 第三部分：前沿应用与数值实现 (Advanced Applications and Numerical Implementation) 本部分将理论与实践相结合，展示非光滑分析在现代计算科学和工程中的实际应用，并讨论数值实现的效率和稳定性。 1. 统计学习与机器学习中的应用： 探讨非光滑优化在现代数据科学中的核心地位。重点分析 $ell_1$ 正则化（LASSO）、$ell_1-ell_2$ 混合范数（Group LASSO）等模型的求解，这些模型依赖于不可导的范数惩罚项。讨论次梯度方法和ADMM在处理超大规模稀疏回归问题中的效率。 2. 鲁棒优化与数据拟合： 考察使用 $L_1$ 损失函数（最小绝对偏差）或 Huber 损失函数（结合 $L_2$ 鲁棒性）进行数据拟合的问题，这些损失函数天然是非光滑的。分析如何利用次微分来构建更具鲁棒性的优化解算器。 3. 控制理论与最优控制： 在涉及系统切换、碰撞检测或非光滑控制输入的系统（如机器人动力学、网络流优化）中，最优控制问题往往退化为非光滑问题。本书展示如何将 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程的数值求解与非光滑分析相结合。 4. 数值稳定性与精度控制： 鉴于非光滑点处解的不唯一性，数值算法的稳定性至关重要。本部分讨论了步长自适应策略、精确定位次微分集合的数值技术，以及如何通过平滑近似（如 Huber 或 Fenchel 平滑）在保证计算效率的同时维持最优解的精度。我们还将讨论并行化和分布式计算的策略，以应对现代超大规模非光滑优化实例。 总结： 本书构建了一个从理论深度到应用广度的完整知识体系，为读者提供了驾驭现代工程和科学中复杂、非光滑优化挑战的必要工具。它不仅是对现有分析方法的系统梳理，更是对未来求解策略创新探索的坚实基础。

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