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出版者:Springer

作者:Achim Klenke

出品人:

页数:636

译者:

出版时间:2007-12-18

价格:USD 89.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781848000476

丛书系列:universitext

图书标签:

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《概率论》是一本深入探讨随机现象背后数学规律的著作。本书旨在为读者构建一个坚实的概率论基础，理解并掌握描述不确定性事件的数学工具。全书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，层层递进地阐述了概率论的核心概念、基本定理及其广泛应用。 第一部分：概率的基本概念与公理化体系 本书的开篇，我们将从最基础的概念入手，引入“随机试验”这一核心术语，并对其特点进行细致分析。通过对试验结果集合的讨论，我们将自然而然地引出“样本空间”和“样本点”的概念，为后续的概率度量奠定基础。为了使概率的定义更具数学严谨性，本书详细阐述了柯尔莫哥洛夫概率公理体系，包括集合的非负性、完备性以及可列可加性。这三条公理不仅是概率论的基石，也是理解所有概率计算和推断的出发点。 在此基础上，本书将介绍“事件”及其运算，如并事件、交事件、互斥事件和对立事件等。通过对事件集合及其关系的深入分析，我们将学习如何用集合论的语言来描述和分析复杂的随机现象。 随后，本书将着重讲解“概率”的定义，从古典概型、统计概型逐步过渡到公理化概率。对于古典概型，我们将通过大量的实例，如硬币抛掷、骰子投掷、抽样等，来解释在等可能结果的假设下，如何计算事件发生的概率。统计概型则强调通过大量的重复试验来估计事件发生的频率，并以此作为概率的近似。最终，本书将聚焦于公理化概率，强调其在理论上的普适性和严谨性，并在此基础上进一步发展概率的计算方法。 本书还将深入探讨“条件概率”这一重要概念。当已知某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率如何变化？条件概率的引入，使得我们能够更精细地分析变量之间的依赖关系。我们将学习条件概率的计算公式，并理解其在实际问题中的应用，例如贝叶斯定理的初步介绍。 第二部分：随机变量及其分布 在掌握了概率的基本概念后，本书将引出“随机变量”这一核心工具。随机变量是数学模型中用来量化随机现象结果的变量，它将样本空间中的结果映射到实数。我们将区分“离散型随机变量”和“连续型随机变量”，并分别介绍它们的概率分布。 对于离散型随机变量，本书将详细讲解“概率质量函数”（PMF）。PMF描述了离散随机变量取各个可能值的概率。我们将介绍一些重要的离散分布，包括： 伯努利分布： 描述单次成功或失败的试验。 二项分布： 描述n次独立伯努利试验中成功的次数。本书将详细推导二项分布的PMF，并探讨其均值和方差。 泊松分布： 描述在给定时间或空间单位内发生某个随机事件的次数。本书将讨论泊松分布在计数过程中的重要性，并推导其PMF。 几何分布： 描述首次成功所需的试验次数。 负二项分布： 描述达到特定次数成功所需的试验次数。 对于连续型随机变量，本书将引入“概率密度函数”（PDF）。PDF描述了连续随机变量在某个数值附近取值的概率密度，其在区间上的积分表示了该随机变量落入该区间的概率。我们将介绍以下关键的连续分布： 均匀分布： 描述在给定区间内等概率取值的随机变量。 指数分布： 描述事件发生的时间间隔，与泊松过程紧密相关。 正态分布（高斯分布）： 被誉为“自然界中最普遍的分布”，其钟形曲线在许多科学领域都有广泛应用。本书将详细探讨正态分布的性质、参数（均值和方差）的意义，以及标准正态分布的查表方法。 伽马分布： 作为指数分布和卡方分布的推广，它在统计建模中扮演着重要角色。 此外，本书还将介绍“累积分布函数”（CDF），它定义了随机变量取值小于或等于某个特定值的概率。CDF是描述随机变量分布的另一种重要方式，本书将阐述CDF的性质及其与PMF/PDF之间的关系。 第三部分：多维随机变量与随机向量 现实世界中的许多随机现象涉及多个变量，因此，本书将扩展到“多维随机变量”（也称为随机向量）的讨论。我们将引入“联合概率分布”，它描述了多个随机变量同时取特定值的概率（离散情况）或概率密度（连续情况）。 本书将详细讲解： 联合概率质量函数（Joint PMF） 和 联合概率密度函数（Joint PDF）：它们是描述离散和连续多维随机变量分布的关键。 边缘概率分布（Marginal Probability Distribution）：如何从联合分布中提取单个随机变量的分布。 条件概率分布（Conditional Probability Distribution）：在已知一个或多个随机变量取值的情况下，其他随机变量的分布。 协方差（Covariance） 和 相关系数（Correlation Coefficient）：度量两个随机变量之间线性关系的强弱和方向。本书将详细阐述这两个统计量的计算和解释。 独立随机变量：当多个随机变量之间没有关联时，它们是独立的。本书将给出独立性的数学定义，并探讨独立性对于简化计算的重要性。 随机变量的函数：如果Z是X和Y的函数，例如Z = X + Y，本书将介绍如何找到Z的分布。 第四部分：期望、方差与矩 为了量化随机变量的“中心趋势”和“离散程度”，本书将深入探讨“期望（Expectation）”、“方差（Variance）”以及“矩（Moments）”的概念。 期望：作为随机变量的平均值，期望的计算方法将根据离散型和连续型随机变量进行区分。本书将介绍期望的性质，如线性性质，并探讨其在各种统计量计算中的应用。 方差：度量随机变量围绕其期望的离散程度，方差的计算方法也将详细讲解。本书将介绍方差的性质，特别是与期望的关系，以及它在衡量数据波动性方面的作用。 矩：包括原点矩和中心矩。本书将重点介绍一阶矩（即期望）和二阶中心矩（即方差），并提及更高阶的矩在描述分布形状（如偏度和峰度）中的作用。 本书还将重点讲解“大数定律（Law of Large Numbers）”和“中心极限定理（Central Limit Theorem）”。 大数定律：阐述大量独立同分布的随机变量的均值会依概率收敛于其期望值。本书将介绍强大数定律和弱大数定律，并说明它们在统计推断中的重要性，即经验均值是总体均值的良好估计。 中心极限定理：指出，无论原始分布是什么，大量独立同分布的随机变量的均值的分布会近似于正态分布。本书将详细阐述中心极限定理的意义，以及它为什么是统计学中最强大的工具之一，广泛应用于置信区间和假设检验中。 第五部分：收敛概念与概率分布的逼近 为了更严谨地处理概率序列和随机变量的近似，本书将引入几种重要的“收敛”概念： 依概率收敛（Convergence in Probability） 依分布收敛（Convergence in Distribution） 依均方收敛（Convergence in Mean Square） 几乎处处收敛（Almost Sure Convergence） 本书将清晰地定义这些收敛概念，并阐述它们之间的关系。特别是，依分布收敛在中心极限定理的表述中扮演着核心角色。对这些收敛概念的理解，将有助于读者掌握概率论中更高级的理论和定理。 第六部分：一些重要的概率模型与应用 本书的最后部分，我们将回顾和拓展一些在实际应用中非常重要的概率模型，并展示概率论如何应用于解决各种实际问题。 马尔可夫链（Markov Chains）：描述一个系统随着时间推移，状态转移的概率模型。本书将介绍马尔可夫链的基本概念，如状态空间、转移概率矩阵，并简要介绍其在自然语言处理、金融建模等领域的应用。 泊松过程（Poisson Process）：描述在时间上随机发生的事件序列的概率模型，与泊松分布和指数分布密切相关。本书将阐述泊松过程的性质，例如独立增量性，并介绍其在排队论、可靠性工程等领域的应用。 应用举例：本书将通过具体的案例，展示概率论在统计推断、机器学习、风险评估、金融工程、物理学、生物学等领域的应用。例如，如何利用概率模型进行预测，如何理解随机过程在现实世界中的表现。 贯穿全书，本书将强调数学的严谨性，同时注重概念的直观解释和应用的广泛性。通过大量的例题和习题，读者将有机会巩固所学知识，并培养运用概率论解决实际问题的能力。本书的目标是使读者不仅能够理解概率论的理论框架，更能够熟练运用其思想和工具来分析和理解不确定性的世界。

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关于这本书的严谨性，我只想用“吹毛求疵”来形容作者的认真程度。在处理极限、收敛性这类高阶概念时，作者毫不含糊地引入了严格的数学定义，并且在证明过程中保证了逻辑链条的完整和无懈可击。虽然这意味着初学者在阅读相关章节时需要更多的耐心和时间，但正是这种对数学严谨性的坚持，确保了这本书能够真正成为高等概率论课程的坚实基石，而不是停留在“直觉层面的科普读物”。我特别欣赏作者在处理“随机过程”入门部分时的谨慎态度，他没有急于引入复杂的鞅理论，而是先通过时间序列分析的简单模型，为后续的马尔可夫链打下了坚实的基础。这种循序渐进、步步为营的教学策略，确保了读者在攀登知识高峰时不会因为基础不牢而出现滑坡。对于那些希望未来继续深造或从事理论研究的读者来说，这本书所建立的扎实数理基础，是任何快速入门指南都无法替代的宝贵财富。

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这本《概率论基础》的封面设计简洁大气，蓝白相间的配色给人一种沉稳可靠的感觉，让人在翻开书之前就对内容充满了期待。书的装帧质量非常出色，纸张厚实，印刷清晰，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。从目录上看，这本书的结构非常系统化，从最基础的事件、样本空间讲起，逐步深入到随机变量、概率分布函数，再到大数定律和中心极限定理的阐述，逻辑链条清晰流畅。作者在内容组织上花了大量心思，力求让初学者也能毫无障碍地理解那些看似抽象的数学概念。例如，在讲解条件概率时，书中提供了大量的日常生活中的实例，比如天气预报的准确性、彩票的中奖概率分析等，这些生动的例子极大地降低了理解门槛，让人感觉概率论并非高不可攀的学科，而是与我们息息相关的工具。全书的排版疏密得当，公式推导步骤详尽，每一步的逻辑衔接都考虑得非常周全，这对于自学者来说简直是福音，避免了在复杂的数学推导中迷失方向。总的来说，这本书在形式和内容组织上都展现了极高的专业水准，是一本值得信赖的概率论入门读物。

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这本书的排版和视觉设计简直是为现代读者量身定做的。在如今这个信息爆炸的时代，一本能够有效抓住读者注意力的教材是多么难能可贵。全书采用了大量的图表来辅助解释复杂概念，图表的质量极高，色彩搭配和谐且信息密度适中。比如，在讲解多维随机变量的联合分布时，作者没有仅仅停留在二维的函数图像上，而是巧妙地引入了三维的曲面图，甚至用颜色深浅来区分概率密度的高低，这种多维度的视觉呈现极大地帮助了空间想象力的不足的读者。书中的脚注和旁注也做得非常到位，它们不是简单的文献引用，而是为那些对某一特定数学分支（如测度论基础）有兴趣的读者提供的拓展阅读方向，体现了作者深厚的学术功底和对读者学习路径的周全考虑。如果你是一个依赖视觉学习的读者，这本书几乎可以让你忘记它是一本严肃的数学教材，它更像是一本结合了高级美学设计的理论手册。这种对阅读体验的极致追求，使得枯燥的数学学习过程变得愉悦而高效。

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这本书的讲解风格简直就是一场精妙的数学“辩论会”，它不是那种枯燥地罗列公式和定理的教科书，而更像是一位经验丰富的导师，带着你一步步去“论证”概率论的真谛。作者非常注重概念的引入和历史背景的梳理，这使得我们不仅知道“是什么”，更理解“为什么是这样”。特别是对贝叶斯定理的探讨，书中不仅给出了标准的数学表述，更通过一个复杂的医疗诊断案例，深入剖析了先验概率、似然度和后验概率之间的动态转化关系，这种深度挖掘让读者对信息如何在不确定性中被修正有了全新的认识。书中习题的设计同样独具匠心，它们不是简单的套用公式练习，很多题目都设置了开放式的讨论空间，鼓励读者去质疑、去探索不同的解题路径，培养了我们批判性思考的习惯。虽然内容深度较大，但作者在关键转折点总会设置小结和“思考题”，帮助读者及时巩固已学知识，避免知识点的堆砌感。阅读体验是渐进式的、充满启发性的，让你感觉自己不仅仅是在学习一门学科，而是在掌握一种全新的思维模式。

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我必须承认，我曾经对统计学和概率论抱有深深的畏惧感，觉得它们是属于数学尖子生的“禁区”。然而，这本《概率论的艺术》彻底颠覆了我的看法。它最令人称赞的一点是其对“直觉”的培养。作者深谙，真正的概率思维不是背诵公式，而是建立一种对随机性的敏锐嗅觉。书中对于“随机”的定义、对“独立性”的界定，都用了极其巧妙的比喻。例如，书中用一个关于掷硬币的长期序列来说明独立事件在短期内可能表现出的“非随机性”假象，这种对比极富冲击力，让你立刻警醒不要被表象所迷惑。此外，书中对概率分布的介绍并非简单地罗列正态分布、泊松分布等，而是从实际现象的建模需求出发，层层递进地展示了为什么需要这些特定的分布。正态分布的无处不在被归因于中心极限定理的强大威力，而这种理论与实践的紧密结合，让抽象的数学工具瞬间变得“有血有肉”。对于想要从事数据分析或量化投资的朋友来说，这本书提供的底层逻辑框架，其价值远超任何一本应用手册。

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