Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Willi-hans, Steeb

出品人:

页数:472

译者:

出版时间:

价格:85

装帧:

isbn号码:9789812708090

丛书系列:

图书标签:

• 连续对称性
• 李代数
• 微分方程
• 计算机代数
• 数学物理
• 应用数学
• 偏微分方程
• 群论
• 符号计算
• 常微分方程

《几何、拓扑与场论中的现代分析方法》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨现代数学物理中至关重要的分析技术、几何结构以及它们在理论物理中的应用。内容覆盖了从基础的微积分和微分方程到先进的微分几何、拓扑学以及量子场论的严格数学框架。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在弥合纯数学与理论物理之间的鸿沟，为研究人员和高年级研究生提供一个坚实的理论基础和丰富的应用实例。 第一部分：基础分析与函数空间 本部分首先回顾并深化了读者对经典分析的理解，重点在于处理无限维空间中的问题。 第1章：实分析与测度论的严格化 本章从勒贝格积分理论的建立入手，详细探讨了测度空间、$sigma$-代数和可测函数。重点分析了$L^p$空间的性质，包括完备性（即Banach空间结构）、H"older不等式和Minkowski不等式。通过引入Sobolev空间的概念，为后续的微分方程理论奠定了分析基础，特别是关于函数在弱导数意义下的性质。 第2章：泛函分析导论 本章聚焦于拓扑向量空间的研究。首先介绍拓扑空间的构造、拓扑的度量化，以及紧致性、连通性的概念。随后，深入探讨了Banach空间和Hilbert空间。对Hilbert空间，着重阐述了正交分解、Riesz表示定理、谱理论的初步介绍，以及紧算子和迹类算子的性质。这为理解量子力学的希尔伯特空间结构和算子代数提供了必要的工具。 第3章：调和分析与傅里叶变换 本章系统地介绍了傅里叶分析在函数空间中的推广。从离散傅里叶变换到连续傅里叶变换，探讨了其在$L^1$和$L^2$空间上的性质，特别是Plancherel定理和Parseval恒等式。引入了Tempered Distributions（缓和分布）的概念，并展示了它们作为线性泛函如何自然地扩展了传统函数的概念，使其成为处理广义函数和绿色函数的基础。 第二部分：微分几何与流形理论 本部分将分析的工具引入到弯曲空间的研究中，这是现代几何物理的核心。 第4章：光滑流形基础 本章详细定义了光滑流形、坐标图、转移映射和张量场。重点介绍了向量场、光滑函数的导数以及切空间的概念。通过具体的例子（如球面$S^n$、环面$T^n$），帮助读者建立对微分结构和局部坐标的直观理解。 第5章：张量分析与微分形式 本章是几何分析的基石。全面介绍了协变张量与逆变张量、内积、外积和张量积。核心内容是微分形式（wedge product），包括其代数性质和几何意义。引入了外微分算子$d$，并严格推导了链式法则和复合的性质，为德拉姆上同调的引入做准备。 第6章：流与积分同调 本章探讨了流形上的积分。首先定义了流形上的体积形式和积分的推广。随后，重点阐述了Stokes定理的推广形式，将其从欧几里得空间推广到任意光滑流形上的微分形式，证明了Stokes定理如何统一了微积分中的三大基本定理（牛顿-莱布尼茨、格林、高斯、斯托克斯）。 第7章：黎曼几何初步 本章引入了度量张量，定义了黎曼流形的概念。详细阐述了共变导数（Levi-Civita联络）、黎曼曲率张量、里奇张量和标量曲率的计算。讨论了测地线的概念，并初步探讨了极值原理在度量空间中的作用。 第三部分：偏微分方程与物理应用 本部分将前两部分的分析和几何工具应用于描述物理现象的核心——偏微分方程。 第8章：线性偏微分方程的理论 本章关注经典物理中的基本方程。系统分析了椭圆型（如拉普拉斯方程）、抛物线型（如热传导方程）和双曲型（如波动方程）。对于每个类型，首先讨论了在欧几里得空间中的基本解（格林函数），然后引入弱解和分布解的概念，强调Sobolev空间在处理这些方程解的正则性时的关键作用。 第9章：椭圆方程与变分原理 本章深入研究椭圆型方程，特别是狄利克雷问题。采用变分方法，通过最小化能量泛函来推导偏微分方程。重点介绍了Sobolev空间中的极值原理、嵌入定理（如Poincaré不等式）和能量估计，以证明解的存在性和唯一性。 第10章：几何与规范理论中的方程 本章探讨了偏微分方程在微分几何中的自然出现。讨论了黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子，以及它在特征值问题和谱分析中的应用。随后，引入了规范场论中的基本方程，如杨-米尔斯场方程的变分形式，并讨论了这些方程在流形上如何被重构。 第11章：初识量子场论的数学结构 本章作为一个过渡章节，初步介绍量子场论对数学结构的需求。探讨了闵可夫斯基时空上的经典场论，以及如何通过正则量子化将经典场论提升到量子理论。重点讨论了因果律、微扰展开中的时间排序算符，以及严格的量子场理论（如Wightman或 আকারে-Streater-Wightman框架）对公理化结构的要求，为读者理解更高级的代数结构（如C-代数、Von Neumann代数）在量子理论中的作用做好铺垫。 全书的写作风格注重数学的严谨性和物理直觉的培养，避免了对代数结构（如李群和李代数）的深入探究，转而专注于分析工具在几何空间和偏微分方程中的应用。通过大量详细的推导和几何插图，本书旨在为读者提供一个坚实的、以分析为核心的现代数学物理入门。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆