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出版者:

作者:Cohen, Harold

出品人:

页数:500

译者:

出版时间:2007-10

价格:$ 90.34

装帧:

isbn号码:9780387730578

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 解析函数
• 留数定理
• 共形映射
• 复变函数
• 数学教材
• 理工科

现代高等代数：群、环与域的深度探索 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代高等代数导论，重点聚焦于抽象代数结构的核心——群、环与域的理论基础、基本性质及其在数学其他分支中的应用。 这不仅仅是一本教科书，更是一部引导读者领略数学美感与逻辑严谨性的探索之作。 第一部分：群论的坚实基础 本书的开篇将从最基础的群的定义出发，逐步过渡到更复杂的群结构。我们详细阐述了子群、陪集和拉格朗日定理，这些是理解有限群结构的关键工具。随后，我们将深入探讨正规子群与商群的构造，这是理解同态定理和实现群分解的基石。 同态与同构： 我们对群同态、同构的概念进行了细致的剖析，并阐述了第一、第二、第三同构定理，展示了不同群结构之间的内在联系和等价性。 群的作用与应用： 随后，我们将引入群作用的概念，并详细讨论其在计数问题中的强大应用，特别是Burnside引理和Pólya计数定理。我们将展示如何利用群作用来研究置换群（对称群 $S_n$）的结构，包括共轭类、中心化子和正规化子的关系。 特定群结构的深入研究： 本书对一些重要的群类进行了深入研究。我们将详尽分析有限阿贝尔群的结构定理，这是理解任何有限交换群的蓝图。对于非阿贝尔群，我们将探索$p$-群的性质，如中心（Center）的存在性，以及Sylow定理的完整证明及其在分析有限群分类中的决定性作用。我们也会触及一些特定的经典群，例如二面体群 $D_n$ 和四元数群 $Q_8$，以具体化抽象概念。 第二部分：环论的构建与拓展 在巩固了群论的知识后，本书将视角转向环这一具有更丰富代数运算结构的对象。我们从环的基本定义、子环、环同态出发，构建了清晰的理论框架。 理想与商环： 环论的核心概念在于“理想”（Ideals）。我们将详细区分左理想、右理想和双边理想，并论证商环的构造。在此基础上，我们将阐述环同态定理，它在本质上与群同态定理有着深刻的对应关系，强调了代数结构间的一致性。 特殊类型的环结构： 本部分致力于对具有特定性质的环进行深入研究： 1. 整环（Integral Domains）： 我们精确定义了整环，并深入探讨了域（Fields）的概念及其性质。 2. 主理想整环（PIDs）与唯一因子分解整环（UFDs）： 我们将清晰地区分PID和UFD，重点分析欧几里得整环（Euclidean Domains）作为PID的充分条件。例如，我们将展示 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 上的结构，并讨论为什么高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 是一个UFD但并非所有PID都是UFD（虽然在本书的范围内，我们会强调常见的例子）。 3. 多项式环的性质： 专门开辟章节讨论多项式环 $F[x]$ 的性质，特别是关于不可约多项式、因式分解以及在特定环上构造域的拓扑方法。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的宏伟蓝图 本书的最后部分将把代数理论提升到一个新的高度，即域论，并最终导向伽罗瓦理论这一代数皇冠上的明珠。 域的扩张与构造： 我们从域的扩张（Field Extensions）开始，定义了代数扩张和超越扩张。我们详尽分析了中间域、域的基（Basis）和扩张次数 $[ ext{L}: ext{K}]$ 的概念。 代数数域： 我们将重点研究由多项式生成的域，如 $mathbb{Q}(alpha)$。对于更复杂的扩张，我们将引入分裂域（Splitting Fields）的概念，这是理解多项式根结构的必要步骤。 伽罗瓦群的引入： 核心章节将介绍正规扩张和伽罗瓦扩张。我们定义了伽罗瓦群 $Gal(L/K)$，并阐述了基本定理——即伽罗瓦扩张的中间域与子群之间存在一一反转的对应关系。 经典问题的解决： 利用伽罗瓦理论的强大工具，我们将回归代数中的两个历史性难题： 1. 可解性（Solvability）： 我们将清晰阐述何为 $n$ 次方程的可解性，并论证当 $n ge 5$ 时，一般五次方程不可由根式求解（即其伽罗瓦群 $S_n$ 不可解）。 2. 尺规作图问题： 利用域扩张的理论，我们证明了著名的三个尺规作图不可能性的问题（如三等分角、倍立方体和化圆为方），其根本原因在于这些问题对应于次数大于2的二次扩张链。 贯穿全书的特征： 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，每章后附有大量精心设计的习题，从基础的验证到需要综合运用的证明题，以期巩固读者的理解。我们避免了对复分析等高等理论的提前引入，确保读者在完全掌握代数工具的基础上进行探索。本书强调对概念的直观理解，同时坚持严格的数学证明标准，是数学专业本科生及研究生进行代数理论系统学习的理想教材。

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