The Rise and Development of the Theory of Series Up to the Early 1820s pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Ferraro, Giovanni

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2007-12

价格:$ 213.57

装帧:

isbn号码:9780387734675

丛书系列:Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences

图书标签:

• 数学史
• 级数理论
• 微积分
• 数学分析
• 傅里叶分析
• 数学发展
• 19世纪数学
• 数学思想史
• 数学教育
• 科学史

经典力学与解析几何的融合：18世纪晚期数学的变革 导言：时代的脉搏与数学的转型 十八世纪末期，欧洲大陆的学术氛围正经历着一场深刻的变革。法国大革命的余波尚未平息，科学界却在宁静中孕育着新的范式。在这段历史时期，数学研究的焦点逐渐从纯粹的几何直观转向了建立在严格逻辑基础上的分析方法。虽然微积分——牛顿与莱布尼茨留下的伟大遗产——已成为分析工具的主流，但其基础的严谨性（特别是关于无穷小量的处理）仍是哲学家和数学家们争论不休的焦点。 本书将聚焦于18世纪晚期至19世纪初期（约1780年至1820年间）经典力学与解析几何交汇地带所发生的关键性发展，尤其关注那些为后续数学分析奠定基石的工作。这个时代，数学家们不再满足于仅仅“计算出结果”，他们迫切需要一套逻辑上无懈可击的理论体系来支撑这些计算的有效性。 第一部分：力学基础的重塑——从动力学到精确性 在牛顿逝世后的一百年里，应用微积分解决物理问题的热情从未减退。然而，随着对天体力学和刚体运动复杂性的深入研究，旧有的基于“绝对空间”和“流数”的表述方式逐渐显露出其局限性。 1. 欧拉的遗产与拉格朗日的综合 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的工作是理解这一过渡期的关键。尽管他大部分的开创性工作完成于更早的时期，但其在变分法、微分方程以及流体力学中的成果，在18世纪末期仍是分析研究的主导范式。他的微分方程组为描述系统的瞬时行为提供了强大工具。 然而，真正的范式转变来自于约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）。他的《分析力学》（Mécanique Analytique，1788年）标志着一个里程碑。拉格朗日摒弃了牛顿传统的向量力学方法，完全采用解析几何的语言和变分原理（如最小作用量原理）来构建整个经典力学体系。他通过引入广义坐标（Generalized Coordinates）的概念，极大地简化了复杂系统的运动方程推导过程。这种对坐标系选择的自由度，将物理直觉置于次要地位，而将纯粹的数学结构提升到了中心。 2. 哈密顿的动力学深化 进入19世纪初期，尤其是在1810年代至1820年代初，对拉格朗日形式的进一步提炼成为可能。威廉·罗恩·汉密顿（William Rowan Hamilton）虽然其最著名的发现稍晚，但早期的工作已开始探索将力学视为一个更抽象的、基于能量函数的系统。这个阶段的研究者们开始思考如何用更简洁的数学结构来统一描述运动的轨迹和能量的演变，为日后建立的“哈密顿力学”铺平了道路。 第二部分：几何学的解析化与曲线的精确描述 在解析几何领域，笛卡尔的坐标系已经普及，但对更高维空间和复杂曲线的描述仍有待完善。18世纪末期，数学家们致力于将几何直觉彻底转化为代数和分析的语言。 1. 曲线论与微分几何的萌芽 对代数曲线，如三次和四次曲线的研究达到了一个高峰。研究人员试图系统地对这些曲线进行分类，并寻找其不变式（Invariants）。这种对几何性质进行代数编码的努力，推动了“不变式理论”的早期发展。 关键性的进展在于，人们开始使用导数来精确描述曲线的曲率（Curvature）和挠率（Torsion）。通过对曲线的参数方程进行二阶甚至三阶微分，数学家们能够精确量化空间中曲线的弯曲程度和空间扭转情况，这直接服务于光学和更精确的轨道计算。 2. 欧几里得几何的代数重构 尽管欧几里得几何的基础地位未被撼动，但学者们开始以一种更具分析性的视角审视它。例如，对平行公理的深入思考虽然尚未导向非欧几何的诞生，但促使数学家们更加警惕公理系统的完备性。分析方法被用来证明几何定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题，这是对数学分支间界限的模糊化尝试。 第三部分：函数理论的深化——从级数到收敛性的初步认识 虽然关于级数收敛性的严格理论主要在19世纪20年代由柯西等人完成，但18世纪末期的工作已经积累了大量关于三角级数和幂级数应用的经验。 1. 傅里叶的早期影响与热传导问题 让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在解决热传导方程的边值问题时，大量使用了三角级数来表示任意函数。尽管在1807年他首次提出这些想法时，严格的数学界对其表示法的“非唯一性”和“收敛性”提出了质疑，但其计算的有效性是无可争议的。 在1820年之前，数学家们主要关注的是如何利用这些级数来求解偏微分方程，而不是严格证明其收敛的条件。傅里叶的工作迫使数学家们开始正视一个核心问题：哪些函数可以通过无穷级数来精确地表示？这无形中催生了对函数定义的更精细考量。 2. 幂级数与解析函数的应用 在牛顿和泰勒时代发展起来的幂级数，在这一时期被广泛应用于近似计算和求解微分方程。解析函数（Analytic Functions）的概念虽然尚未完全形式化，但研究者们已习惯于处理那些可以通过幂级数展开的函数。例如，指数函数、三角函数和对数函数之间的关系，通过级数展开被看得更加清晰和统一。 结语：通往严谨分析的桥梁 1780年至1820年是数学史上一个关键的过渡期。在这个时期，数学家们通过力学的分析化（拉格朗日）和对复杂函数表示法的探索（傅里叶的早期工作），极大地拓宽了分析工具的适用范围。经典力学不再仅仅是关于力的推导，而成为了一个优雅的、基于能量和变分的纯粹数学结构。解析几何则被推向了描述复杂空间关系的工具。 这些发展共同指向了对数学基础——特别是对极限和收敛性的严格定义——的迫切需求。1820年后的数学黄金时代，正是建立在这一时期所积累的深厚技术基础和对解析有效性的初步认同之上的。本书旨在揭示，在严格的分析理论诞生之前，数学是如何在强大的应用需求驱动下，完成其范式转换的。

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