Matematica Generale Con Il Calcolatore pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Impedovo, Michele

出品人:

页数:536

译者:

出版时间:

价格:$ 56.44

装帧:

isbn号码:9788847002586

丛书系列:

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《一般数学及其计算工具：理论与应用前沿探索》 导言：现代数学与计算科学的交汇点 在当代科学与工程领域，数学作为基础语言的地位无可替代。然而，单纯的理论推演已不足以应对现实世界中日益复杂的系统和海量数据。因此，将严谨的数学理论与高效的计算工具相结合，成为了推动知识前沿的关键驱动力。《一般数学及其计算工具：理论与应用前沿探索》正是在这一背景下应运而生的一部著作。本书旨在为高等院校的数学、物理、工程学、计算机科学以及经济学等领域的学生和研究人员提供一个全面、深入且极具实践指导价值的知识体系。它超越了传统教材对基础概念的机械罗列，而是侧重于展示如何运用现代数学工具解决实际问题，并探讨理论结构在计算环境下的实现细节。 第一部分：基础理论的深度重构与计算视角 本书的首章着手于对高等数学核心概念进行一次深刻的、具有计算思维导向的重构。我们不再将微积分视为孤立的计算规则集合，而是将其置于函数空间和度量理论的框架下进行审视。 第一章：分析学的拓扑基础与极限的严格性。 这一章详细阐述了实数系统（$mathbb{R}$）的完备性及其在度量空间中的推广。重点讨论了序列收敛的拓扑定义，这为理解泛函分析的结构奠定了基础。我们引入了紧集的概念，并展示了魏尔斯特拉斯定理在数值逼近中的核心地位。区别于传统教材，本章强调了数值稳定性对理论选择的影响，例如在处理病态矩阵或高阶导数近似时的内在局限性。 第二章：微分学：从单变量到多元系统的泛化。 本章深入探讨了微分的概念，从一维的导数推广到多维的梯度、雅可比矩阵和黑塞矩阵。关键在于对可微性的深入剖析，并引入了基于范数估计的微分近似误差界限。我们详细分析了隐函数定理和反函数定理的几何意义及其在优化问题中的关键作用。对于偏微分方程的预备知识，我们引入了变分法的思想，将解的寻找转化为能量泛函的最小化问题，这为后续的数值方法打下了坚实的理论基础。 第三章：积分理论的深化与测度论的引入。 传统黎曼积分的局限性在处理不规则函数和无穷维空间时显现出来。本章引入了勒贝格积分的概念，不仅解释了其技术上的优越性（例如更好的收敛性定理），更重要的是阐明了其背后的测度论思想。通过测度论的视角，我们统一了对体积、概率和函数空间的理解。重点章节探讨了Fubini定理在多重积分计算中的应用，并展示了如何利用这些工具计算高维空间中的物理量。 第二部分：核心数学分支的计算实现与理论挑战 在夯实了分析基础后，本书转向当代数学中与计算联系最为紧密的几个核心分支。 第四章：线性代数：向量空间与矩阵分解的算法视角。 线性代数是计算科学的骨架。本章超越了基础的行列式和逆矩阵计算，专注于矩阵的结构分解——奇异值分解（SVD）、QR分解和特征值分解。我们详细分析了这些分解的计算复杂度和数值稳定性。特别是SVD，被视为处理高维数据、降维和最小二乘问题的黄金标准。本章深入探讨了谱理论在理解系统稳定性（例如常微分方程组的解的长期行为）中的应用。 第五章：常微分方程（ODE）的解的结构与数值逼近。 ODEs是描述动态系统的核心工具。本章首先讨论了解的存在性与唯一性定理（如皮卡迭代法），然后将重点放在数值方法上。我们系统地分析了欧拉法、龙格-库塔（Runge-Kutta）族方法的收敛阶数、稳定性和局部截断误差。对于刚性方程组（Stiff Equations），我们详细介绍了隐式方法（如后向欧拉法）的必要性和计算挑战，包括隐式线性系统的求解策略。 第六章：概率论与随机过程的计算基础。 现代科学充满了不确定性。本章将概率论建立在测度论的基础上，确保了理论的严谨性。重点关注了随机变量的期望、方差的计算，以及大数定律和中心极限定理的现代表述。在计算方面，我们深入研究了马尔可夫链的稳态分析以及蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）的基本原理，展示了如何利用随机抽样来近似难以直接求解的积分和期望值。 第三部分：高级主题：泛函分析与数值方法前沿 本书的最后部分将读者引向更抽象和前沿的领域，展示了如何将计算思维应用于无限维空间。 第七章：泛函分析的几何直觉。 为了理解偏微分方程（PDEs）的弱解和优化问题，必须掌握泛函分析的基本概念。本章介绍了赋范线性空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间。我们着重讨论了内积、正交性以及傅里叶级数在这些空间中的收敛性。关键在于将求解PDEs转化为在希尔伯特空间中寻找最小范数的向量，从而为有限元方法（FEM）的理论基础做铺垫。 第八章：数值方法的理论验证与误差控制。 任何计算结果的可靠性都依赖于对误差的精确控制。本章探讨了数值方法的三个核心要素：一致性（Consistency）、收敛性（Convergence）和稳定性（Stability）。我们引入了傅里叶分析在分析离散化误差（如冯·诺依曼稳定性分析）中的应用。此外，本章还探讨了迭代法的收敛性，如雅可比法和高斯-赛德尔法，并讨论了域分解法在处理大规模问题时的效率。 第九章：应用模型与计算范例。 最后的章节通过具体的工程和科学实例，整合前述的理论和方法。我们探讨了傅里叶变换在信号处理中的应用，展示了如何利用离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）来高效地分析周期性现象。此外，我们还介绍了几种经典的偏微分方程（如热传导方程和波动方程）的有限差分法的基本思想，强调了边界条件的设置和时间步长的选择对最终解的物理意义的决定性影响。 结语：构建理论与计算的桥梁 《一般数学及其计算工具：理论与应用前沿探索》的最终目标是培养读者将数学思想“计算化”的能力。它不仅仅是知识的传授，更是思维方式的塑造，鼓励学习者批判性地评估理论模型的适用范围，并高效地利用计算工具来验证、探索和解决现实世界中遇到的复杂数学问题。本书的结构设计，确保了读者在掌握传统数学严谨性的同时，也具备了在现代计算环境中进行高效研究的实践能力。

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