Enumeration of Finite Groups pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Simon R. Blackburn

出品人:

页数:294

译者:

出版时间:2007-11-26

价格:USD 126.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521882170

丛书系列:Cambridge Tracts in Mathematics

图书标签:

数学
群论
有限群
群表示论
数学
代数
组合数学
抽象代数
计数
置换群
伽罗瓦理论

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具体描述

How many groups of order n are there? This is a natural question for anyone studying group theory, and this Tract provides an exhaustive and up-to-date account of research into this question spanning almost fifty years. The authors presuppose an undergraduate knowledge of group theory, up to and including Sylow's Theorems, a little knowledge of how a group may be presented by generators and relations, a very little representation theory from the perspective of module theory, and a very little cohomology theory - but most of the basics are expounded here and the book is more or less self-contained. Although it is principally devoted to a connected exposition of an agreeable theory, the book does also contain some material that has not hitherto been published. It is designed to be used as a graduate text but also as a handbook for established research workers in group theory.

群论基础：结构与应用探索图书名称：群论基础：结构与应用探索图书简介本书旨在为读者提供一个全面而深入的群论入门指南，重点关注有限群的结构理论、重要概念的阐释以及在不同数学分支中的实际应用。本书的编写遵循由浅入深的原则，力求在严谨的数学定义和清晰的几何直观之间取得平衡，以期能激发读者对代数结构美学的兴趣。本书结构分为六个主要部分，涵盖了群论的核心内容和当前研究的前沿领域。第一部分：群论的基本概念与早期结构本部分首先奠定坚实的代数基础。我们将从集合、映射和二元运算的抽象概念出发，精确定义群的四大公理：封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。在此基础上，我们将引入子群、陪集和拉格朗日定理，这是有限群理论的基石。拉格朗日定理的证明将以清晰的分解方式呈现，并立即引导至群的阶、子群的阶数之间的关系。随后，我们将探讨同态和同构的概念。同构被视为结构上的等价性，它允许我们将不同对象间的数学关系进行比较。核（Kernel）和像（Image）的概念将被详细阐述，特别是规范子群（Normal Subgroups）的定义——那些使得商群（Quotient Groups）得以构造的关键结构。本部分以四群（如$Z_4$和$Z_2 imes Z_2$）的初步分析收尾，展示了具有相同阶的群可能具有不同的内部结构。第二部分：群的生成与表示本部分聚焦于如何用最少的元素来“构建”一个群。我们将引入生成子集和由其生成的群（Cyclic Groups的推广）。循环群作为最简单的非平凡群，将被深入剖析，其性质和同构分类将得到充分讨论。接着，我们将转向更复杂的有限生成群。二面体群（Dihedral Groups，$D_n$）和四元数群（Quaternion Group，$Q_8$）作为非阿贝尔群的经典实例，其生成关系、矩阵表示和元素的性质将被详细对比。本书将采用更具计算性的视角，展示如何利用生成元和关系（Presentation）来刻画一个群的结构，为后续的结构分解做准备。第三部分：群作用与首页方程群作用是理解群如何作用于外部对象的强大工具。本部分将群作用定义为群与集合之间的同态映射，并引入轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念。群作用理论的精髓在于其与陪集分解的紧密联系。核心定理——轨道-稳定子定理——将被证明并应用于实际问题。随后，我们将利用群作用的工具推导出首页方程（Class Equation）。首页方程是分析有限群中心的重要工具，它将群的阶与共轭类的结构联系起来，是证明许多关键结构定理的桥梁。我们将展示如何利用首页方程来证明$p$-群（素数阶群）的中心非平凡性。第四部分：群的分解与结构理论这是本书结构理论的核心部分。我们将从最基本的不可分解组件开始。 1. 直积（Direct Products）：我们将区分内直积（Internal Direct Product）和外直积（External Direct Product），并讨论一个群何时可以分解为其直积。 2. Sylow 定理： Sylow 定理是有限群理论中最强大、最关键的工具集。本书将提供对Sylow $p$-子群存在性、个数以及所有该类子群之间共轭关系的完整证明。对这些定理的证明将侧重于群作用论的应用，特别是它们在判断群是否为单群（Simple Groups）方面的作用。 3. 可解群（Solvable Groups）：我们将定义通勤子群（Commutator Subgroup）和可解群的概念。本书将详述何为“可解序列”，并证明有限阿贝尔群和有限$p$-群都是可解群。此外，我们将探讨具有素数阶元素的群的结构，引入Fitting子群和Jordan-Hölder定理的基本思想（不深入到复杂的群扩张理论）。第五部分：有限阿贝尔群的结构阿贝尔群的分类理论相对完备且具有极高的美感。本部分将专注于有限阿贝尔群的结构定理。我们将引入子群格（Lattice of Subgroups）的概念，并证明每个有限阿贝尔群都可以唯一地分解为其初等因子群（Elementary Abelian Groups）的直积。初等因子群$Z_{p^{a_1}} imes Z_{p^{a_2}} imes cdots$的结构将被详细分析。我们将通过构造性证明来展示如何从元素的阶和初等因子来确定两个阿贝尔群是否同构，这为理解更一般群的结构提供了清晰的对比。第六部分：群论的应用与计算方法本部分将群论的应用拓展到代数之外的领域，并介绍现代计算工具的使用。 1. 群在几何中的体现：介绍对称群在刚体变换和晶体学中的作用，简要回顾李群（Lie Groups）的概念，强调其与连续对称性的联系。 2. 群在数论中的应用：讨论欧拉 $phi$ 函数与群阶的关系，以及循环群在有限域上离散对数问题中的作用。 3. 计算群论简介：介绍计算群论的基本算法，如计算群的生成元、判定群的阶、查找子群以及使用SAGE或GAP等软件包进行实际操作的初步指导。我们将展示如何通过矩阵群的例子，直观地理解抽象群的性质。全书配有大量计算实例和拓扑思考题，旨在巩固理论知识，并培养读者运用群论工具解决实际问题的能力。本书适合代数方向的本科高年级学生及研究生作为核心教材，或作为相关领域研究人员的参考资料。