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出版者:

作者:Hernandez-figueroa, Hugo E. (EDT)/ Zamboni-rached, Michel (EDT)/ Recami, Erasmo (EDT)

出品人:

页数:369

译者:

出版时间:2008-2

价格:1304.00 元

装帧:

isbn号码:9780470108857

丛书系列:

图书标签:

• 波浪
• 局部波
• 非线性光学
• 凝聚态物理
• 量子力学
• 拓扑物理
• 材料科学
• 固体物理
• 物理学
• 数学物理

泛函分析中的算子理论：现代应用与前沿进展 图书简介 本书深入探讨了泛函分析的核心领域——算子理论，旨在为数学、物理学以及工程学等相关领域的学者和高级研究生提供一个全面、深入且具有前沿视野的参考指南。我们聚焦于线性有界和无界算子在各种函数空间上的性质，探讨了谱理论、算子半群、微分算子以及非线性算子的现代进展。本书的叙述力求严谨，同时兼顾数学直觉的培养，并通过大量精心挑选的实例和应用案例，阐明抽象理论在实际问题中的强大威力。 第一部分：基础与经典理论的重塑 第一章：函数空间与拓扑结构的回顾与深化 本章首先快速回顾了巴拿赫空间和希尔伯特空间的基本结构，重点关注它们的拓扑性质，如弱收敛、紧性判据（Riesz引理的推广）以及区分拓扑的方法。随后，我们进入更精细的函数空间探讨，包括索伯列夫空间（Sobolev Spaces）在边值问题中的核心地位，以及赫尔德空间（Hölder Spaces）和贝索夫空间（Besov Spaces）在微分方程正则性理论中的关键作用。特别地，我们详细讨论了这些空间上的内积结构和等距同构，为后续算子理论的研究奠定坚实的几何基础。 第二章：线性有界算子与有界性定理的精微 本章聚焦于连续线性算子（有界算子）的代数与分析性质。我们重新审视了开映射定理、闭图像定理和均匀有界性原理（Banach-Steinhaus定理）的深刻含义及其在算子范数估计中的应用。随后，本书引入了双有界性（Doubling Conditions）的概念，探讨了这些条件如何影响算子在$L^p$空间上的边界行为。我们对范数公式 $Vert T Vert = sup_{x e 0} frac{Vert Tx Vert}{Vert x Vert}$ 进行了更细致的分析，并探讨了算子在有限维子空间上的表现与无限维环境下的差异。 第三章：谱理论的几何与代数视角 谱理论是算子理论的灵魂。本章从代数角度切入，详细阐述了算子代数和 $C^$-代数的基本概念，特别是冯·诺依曼代数（von Neumann Algebras）在双有界算子分类中的作用。在分析层面，我们深入探讨了有界算子的谱（Spectrum）、点谱、残余谱以及连续谱的拓扑结构。本书的重点在于函数演算（Functional Calculus）的构建，包括波雷尔函数演算和更强大的 $H^infty$ 函数演算，并论证了它们在计算复杂算子函数（如积分变换）中的有效性。我们还比较了紧算子与一般有界算子在特征值分布上的差异。 第二部分：无界算子与微分方程的桥梁 第四章：闭稠密算子与希尔伯特空间上的不动点 本章转向更具挑战性的无界线性算子。我们严格定义了闭集、稠密定义域以及闭算子的概念。重点分析了伴随算子（Adjoint Operators）的存在性、唯一性及其在自伴随性（Self-Adjointness）判断中的核心地位。我们将闭算子与微分算子（如拉普拉斯算子）的最小和最大延拓联系起来，详细讨论了施瓦茨（Schwartz）理论在确定算子唯一自伴随延拓中的应用。 第五章：算子半群与演化方程 算子半群理论是处理偏微分方程时间演化问题的关键工具。本章系统地介绍了 $C_0$ 连续半群的定义、性质及其与无穷小生成元的关系（Hille-Yosida定理）。我们详细推导了黎斯表示定理在半群生成元上的应用，并讨论了生成元为紧算子和非紧算子时的具体表现。关键应用包括热方程、波方程以及薛定谔方程的解的构造及其在 $L^p$ 空间上的正则性估计。我们特别关注了分析半群（Analytic Semigroups）在确保解的平滑性方面的优势。 第六章：微分算子与马格努斯效应 本章聚焦于微分算子，特别是二阶椭圆型算子的谱性质。我们探讨了狄利克雷边界条件和诺伊曼边界条件下的自伴随延拓问题，并利用变分原理（Rayleigh-Ritz方法）来估计特征值。本章引入了谱分解（Spectral Decomposition）的概念，并讨论了其在量子力学中能量本征态描述中的物理意义。此外，我们还分析了具有不规则系数（如变系数或分布系数）的微分算子的解的存在性与唯一性，强调了弱解和分布解的引入是必要的桥梁。 第三部分：高级主题与现代展望 第七章：紧性与核算子理论 本章专门研究具有“紧性”的算子，这些算子在某种意义上模仿了有限维空间中的性质。我们详细分析了希尔伯特-施密特算子（Hilbert-Schmidt Operators）和核算子（Trace Class Operators）的性质，特别是它们的Schatten范数和核（Trace）的定义。我们通过谱分解定理，展示了紧算子的特征值如何趋于零，并阐述了这些概念在积分方程（如Fredholm积分方程）中的应用，包括Fredholm替代原理的严格证明。 第八章：非线性泛函分析中的不动点定理 本章将视角转向非线性算子，这是现代应用数学和生物医学建模的核心。我们详尽讨论了布劳威尔不动点定理、Schauder不动点定理和Banach压缩映射原理的推广形式。重点分析了单调算子理论在变分不等式求解中的应用，以及拓扑度理论（Topological Degree Theory）如何用于确定非线性边值问题的解的存在性。 第九章：算子理论在随机过程与量子信息中的前沿交叉 本书最后一部分探讨了算子理论在当代科学中的新兴应用。我们考察了马尔可夫过程的生成元（Infinitesimal Generators）在随机微分方程（SDEs）中的作用，特别是昂萨格（Onsager）关系和Krein-Smulian定理在确保解的稳定性和遍历性中的角色。在量子信息方面，我们讨论了量子操作（Positive Linear Maps）的特征，引入了张量积空间上的算子，并分析了纠缠（Entanglement）如何通过特定算子性质（如偏正交性）来刻画。这一章旨在激发读者将深奥的泛函分析工具应用于最前沿的研究领域。 --- 本书的读者应具备扎实的实分析和线性代数基础。通过对这些核心概念的系统梳理和深入剖析，本书不仅巩固了读者在经典算子理论上的理解，更指明了通往现代微分方程、动力系统和数学物理等交叉领域的研究路径。

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