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好的，这是一份为您的图书《Basic College Mathematics》量身定制的、不包含该书内容的图书简介。请注意，以下内容是基于对“基础大学数学”这一主题的普遍理解和常见内容进行的扩展和构建，旨在提供一个内容丰富、结构严谨的替代性简介。 --- 《高等数学基础：从微积分预备到离散结构初探》 本书定位： 面向理工科、商科及需要坚实数学基础的文科专业学生，旨在构建一个从代数到初步分析、再到逻辑推理的完整数学思维框架。它不仅仅是一本工具书，更是一门引导学生跨越高中数学与大学高阶课程之间鸿沟的桥梁。 --- 第一部分：核心代数与函数系统重建（Algebraic Foundations and Functional Systems） 本部分致力于巩固和深化学生对代数系统的理解，确保在进入更复杂的分析领域之前，对基本运算规则和函数特性拥有绝对的掌控力。 第一章：实数系统与基本运算的严谨性 超越计算： 深入探讨实数集合的拓扑性质（如稠密性、完备性概念的直观引入）。 指数与对数： 详细解析指数律的严格推导，对数函数作为指数函数的反函数性质的深入分析。引入自然对数 $e$ 的定义及其在增长模型中的核心地位。 多项式的高级分解： 侧重于因式定理、余数定理的实际应用，特别是涉及复系数多项式的有理根定理。探讨插值多项式（如拉格朗日插值）的构建思路。 第二章：方程、不等式与解集分析 线性系统的高效求解： 强调矩阵方法的引入（如克莱默法则的几何意义，高斯消元法的矩阵视角）。 二次曲线与二次方程的几何意义： 将二次方程的解与抛物线、椭圆、双曲线的顶点、焦点等关键几何特征联系起来，为后续的解析几何打下基础。 不等式求解的策略： 详细区分绝对值不等式、分式不等式和涉及根式的方程组的解题步骤，特别关注定义域的限制。 第三章：函数——数学世界的通用语言 函数的本质定义与图像变换： 深入剖析复合函数、反函数的存在性条件及其代数/几何操作。系统梳理平移、伸缩、反射等图像变换的代数表达。 特殊函数族的深入研究： 侧重于有理函数（渐近线的精确确定）、无理函数（定义域的细致划分）和三角函数的周期性、奇偶性。 数列与级数的基础： 严格定义等差数列和等比数列，引入求和公式的归纳法证明。初步接触几何级数的收敛性概念的直观理解。 --- 第二部分：解析几何与空间思维的拓展（Analytic Geometry and Spatial Reasoning） 本部分将代数工具与几何直觉相结合，使学生能够用代数语言描述和分析空间关系。 第四章：二维平面上的几何代数化 直线方程的多种表达形式： 斜截式、点斜式、两点式到一般式的转换，重点分析法向量和方向向量的作用。 圆锥曲线的统一表示： 详细推导圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，并探讨一般二次方程 $ ext{Ax}^2 + ext{Bxy} + ext{Cy}^2 + ext{Dx} + ext{Ey} + ext{F} = 0$ 的识别与配方简化过程。 第五章：三维空间的基础构造 向量入门： 引入二维和三维向量的基本运算（加法、数乘、点积、叉积）。强调点积在投影和角度计算中的应用，叉积在确定平面法向量上的关键作用。 空间中的直线与平面： 掌握用参数方程和对称方程描述空间中的直线。通过法向量推导平面的点法式和一般式，学习如何计算点到平面的距离。 --- 第三部分：概率统计与离散结构初探（Probability, Statistics, and Discrete Structures） 为后续的数据科学和计算机科学课程做好准备，本部分引入非连续性思维和不确定性分析。 第六章：基础组合学与计数原理 排列与组合的区分： 严格区分有序与无序，详细讲解阶乘、排列公式 $ ext{P}(n, k)$ 和组合公式 $ ext{C}(n, k)$ 的推导，特别是二项式定理的展开与应用。 容斥原理与鸽巢原理： 通过实际问题展示如何运用容斥原理解决复杂集合的计数问题，并直观理解鸽巢原理在证明存在性时的威力。 第七章：概率论的逻辑框架 样本空间与事件： 建立严格的概率模型，理解古典概型、几何概型。 条件概率与独立性： 深入讲解贝叶斯定理（Bayes' Theorem）及其在逆向概率推理中的应用。通过实例清晰界定事件间的相互独立性。 第八章：描述性统计与数据可视化 数据集中趋势与离散程度的度量： 细致区分均值、中位数、众数的计算及其在不同数据分布下的优缺点。掌握方差、标准差的含义，理解它们如何量化数据的“分散度”。 数据分布的初步认识： 介绍直方图、箱线图等基本可视化工具，培养从图表中快速提取关键信息的能力。 --- 本书的教学特色： 1. “为什么”（The Why）： 每引入一个新的定理或公式，本书都首先探究其背后的几何或逻辑直觉，而非急于展示计算技巧。 2. 技术与概念的平衡： 在确保计算熟练度的同时，本书特别强化了对数域扩展、函数连续性的初步概念介绍，为微积分学习做好充分的思维准备。 3. 跨学科案例库： 包含了大量的工程、经济、生物学中的实际应用案例，展示数学在真实世界中的建模能力。 适用读者： 任何需要系统回顾和提升代数、解析几何以及初步离散数学知识的大学生，特别是为微积分（Calculus I）课程打下坚实基础的学生。
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