Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Constructibility with Ruler and Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Algebraic Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Simple Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Fundamentals of Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Prime Factorization in Polynomial Rings. Gauss’s Theorem. . . . . . . . . 45
6 Polynomial Splitting Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Separable Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Galois Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9 Finite Fields, Cyclic Groups and Roots of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10 Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11 Applications of Galois Theory to Cyclotomic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12 Further Steps into Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13 Norm and Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
14 Binomial Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
15 Solvability of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
16 Integral Ring Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
17 The Transcendence of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
18 Transcendental Field Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
19 Hilbert’s Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Appendix: Problems and Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Index of Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
· · · · · · (收起)