An Elementary Approach to Homological Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Vermani, L. R.

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页数:328

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价格:119.95

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isbn号码:9781584884002

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• 同调代数
• Homological Algebra
• Elementary Approach
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Category Theory
• Algebraic Topology
• Graduate Level
• Textbook
• Pure Mathematics
• Commutative Algebra

《代数拓扑与同调方法》 本书是一部深入探讨代数拓扑领域核心概念与方法的著作，旨在为读者构建一套严谨且富有洞察力的理论框架。我们从基础的集合论和群论出发，逐步引入拓扑空间、连续映射以及同胚等基本概念，为理解更复杂的代数结构奠定坚实基础。 第一部分：拓扑空间的基石 集合与拓扑： 本章将介绍集合论的基本工具，包括集合、映射、关系等，并在此基础上定义拓扑空间。我们将详细阐述开集、闭集、邻域、基、可数公理以及分离公理（如T0, T1, T2, T3, T4空间）等概念。通过丰富的例子，读者将直观理解不同拓扑性质的含义及其在几何和分析中的重要性。 连续性与同胚： 紧接着，我们引入连续映射的概念，并深入探讨其性质。同胚作为保持拓扑性质的 bijective 映射，将是连接不同拓扑空间的桥梁。我们将通过一系列实例，展示如何判断两个空间是否同胚，以及同胚在分类拓扑空间中的作用。 连通性与紧致性： 连通性是衡量拓扑空间“完整性”的一个重要指标。本章将定义和讨论连通空间、路径连通空间，并研究它们之间的关系。紧致性则是另一个至关重要的拓扑性质，它与度量空间中的收敛性紧密相关。我们将探讨紧致空间的定义、性质，以及 Heine-Borel 定理等经典结果。 度量空间与完备性： 度量空间作为一种特殊的拓扑空间，在分析学中扮演着核心角色。本章将介绍度量、度量空间的拓扑性质，并重点讨论完备性。完备性保证了柯西序列的收敛性，对于许多分析学中的证明至关重要。我们将介绍完备空间的基本性质，以及完备化。 乘积空间与商空间： 研究拓扑空间的一个重要方法是构造新的拓扑空间。本章将介绍乘积拓扑和商拓扑，并分析它们在代数拓扑中的应用。例如，无限维空间的乘积空间在泛函分析中有重要应用，而商空间则常常出现在研究对称性的问题中。 第二部分：基本同调不变量 基本群与覆叠空间： 基本群是代数拓扑中最古老也是最基本的不变量之一。本章将详细介绍同伦、基本群的构造，以及万有覆叠空间的概念。我们将利用基本群来区分非同胚的拓扑空间，并探讨覆叠空间在理解基本群结构中的作用。 同调群的初步： 在基本群之后，我们将引入更高阶的同调不变量——同调群。本章将以直观的方式介绍链复形和同调复形的概念，并初步定义同调群。我们将展示同调群如何捕捉拓扑空间的“洞”或“连通分支”等更精细的结构。 单复形与奇异同调： 为了更系统地定义同调群，本章将介绍单复形和奇异同调的构造。单复形是一种由基本单元（单纯形）组合而成的拓扑空间，其结构清晰，易于进行代数计算。奇异同调则是一种更一般的构造方法，适用于任意拓扑空间。我们将详细推导奇异同调群的定义，并展示其作为拓扑不变量的性质。 同调群的性质： 本章将深入探讨同调群的各种性质，包括同态、同构、长正合序列等。我们将利用这些性质来计算一些简单空间的同调群，例如球面、环面等。此外，还将介绍同调群的万有系数定理，它揭示了同调群与系数群之间的关系。 胞腔同调： 胞腔同调是另一种构造同调群的方法，特别适用于具有胞腔结构的拓扑空间，如CW复形。本章将介绍胞腔同调的构造，并证明它与奇异同调在同构意义下是等价的。胞腔同调在实际计算中往往更为简便。 第三部分：同调代数工具 链复形与同调复形： 在本章中，我们将对链复形和同调复形进行更深入的探讨。我们将介绍链复形的直和、直积等运算，以及同调复形之间的链映射和链同伦。这些代数工具对于理解和构造同调群至关重要。 长正合序列： 长正合序列是同调代数中的核心工具之一，它在连接不同链复形和同调群的结构方面发挥着关键作用。本章将详细介绍蛇引理（Five-Lemma）以及一系列重要的长正合序列，并展示如何利用它们进行同调群的计算和推导。 张量积与Tor函子： 张量积是代数中的一种重要构造，它在构造直积复形和研究同调群的系数性质方面有重要应用。本章将介绍张量积的定义和性质，并在此基础上引入Tor函子。Tor函子是第一个派生函子，它在计算同调群的张量积时发挥着关键作用。 Hom函子与Ext函子： 与Tor函子类似，Hom函子是另一个重要的函子。本章将介绍Hom函子的定义和性质，并在此基础上引入Ext函子。Ext函子是第二个派生函子，它在研究同调群的Ext群时起着核心作用，并且与上同调群密切相关。 同调谱序列： 同调谱序列是一种强大的计算工具，尤其适用于计算具有复杂结构的拓扑空间的同调群。本章将介绍过滤链复形的概念，并在此基础上引入Serre谱序列和Grothendieck谱序列等经典的谱序列。我们将展示谱序列如何通过一系列“页面”来逐步逼近最终的同调群，以及它们在解决复杂问题中的强大威力。 第四部分：应用与进阶主题 庞加莱对偶定理： 庞加莱对偶定理是黎曼几何和代数拓扑中的一个基本定理，它揭示了紧致定向流形的同调群和上同调群之间的深刻联系。本章将详细阐述庞加莱对偶定理，并展示其在流形分类和几何研究中的重要应用。 Milnor构造与K-理论： Milnor构造提供了一种构造奇异同调群的替代方法，并为代数K-理论的研究奠定了基础。本章将介绍Milnor构造的细节，并简要介绍代数K-理论的基本概念和一些初步的结果。 Chern类与Obstruction理论： Chern类是代数拓扑中用于研究向量丛的重要不变量。本章将介绍Chern类的定义和性质，并将其应用于Obstruction理论，该理论用于研究映射的分类和存在性问题。 同伦论的初步： 除了同调论，同伦论也是代数拓扑的另一个重要分支。本章将简要介绍同伦群的定义和性质，并与同调群进行对比。我们将提及同伦论在研究更精细的拓扑结构中的作用。 微分同调与de Rham定理： 本章将介绍微分同调的概念，并阐述de Rham定理，该定理将微分形式的de Rham上同调群与奇异上同调群联系起来。这将为读者提供连接代数和微分几何的桥梁。 本书的写作风格力求清晰、严谨，并辅以大量的例证和习题，以帮助读者深入理解抽象概念。我们相信，通过对本书内容的学习，读者将能够掌握代数拓扑的核心思想和工具，为进一步深入研究拓扑学、几何学、微分几何以及相关的理论物理学领域打下坚实的基础。

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这本《拓扑学基础》简直是为初学者量身定做的入门读物，它以一种极其清晰和直观的方式，将抽象的拓扑概念铺展开来。作者似乎深谙“大道至简”的道理，没有一开始就抛出那些令人望而生畏的专业术语和复杂定理，而是从最基本的点集拓扑讲起，比如开集、闭集、紧致性这些核心概念，作者都用了大量的实例和类比来辅助理解。我印象最深的是它对连通性的讲解，作者没有直接给出定义，而是通过“能不能一笔画完”或者“能不能把一个物体撕成两半而不必抬笔”这类日常化的比喻，迅速拉近了读者与概念的距离。特别是关于度量空间的介绍部分，它有效地弥合了直观几何感与严谨数学描述之间的鸿沟。这本书的排版也十分友好，数学公式的出现时机把握得恰到好处，总是在概念铺垫足够充分之后才出现，这使得阅读体验非常流畅，完全没有一般教科书那种令人窒息的压迫感。对于那些希望在不被复杂理论压垮的前提下，建立起坚实拓扑学基础的自学者来说，这本书无疑是一个绝佳的起点。它不是那种追求极致深度的专著，而是专注于“构建理解的脚手架”，这点做得极其出色。

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作为一本面向应用科学家的《概率论与数理统计》，其最大的优点在于其极强的实用性和针对性。这本书的作者显然非常了解工程和数据科学领域对概率论的需求点在哪里。它开篇就花了相当大的篇幅来讲解如何构建合理的概率模型，而不是仅仅停留在定义随机变量的阶段。书中对于大数定律和中心极限定理的介绍，非常侧重于它们在统计推断中的意义，例如如何利用这些理论来指导我们对样本数据进行可靠的估计和假设检验。最令我欣赏的是其对回归分析和贝叶斯方法的处理，内容详实且推导清晰，尤其是在解释模型选择和参数估计时，提供了许多贴近实际案例的讨论。遗憾的是，相较于纯数学教材，它在测度论基础上的讨论相对简化，但这显然是为了换取在实际应用深度上的侧重。总的来说，这本书就像一本高质量的工具手册，当你面对实际问题需要用统计工具来量化不确定性时，它能为你提供最直接、最有效的解决方案和理论支持，非常适合需要快速掌握统计工具的研究人员。

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《经典力学原理》这本书的笔触显得老辣而沉稳，它毫不避讳地采用了拉格朗日和哈密顿力学的观点作为核心框架，而非传统的牛顿力学路线。这种选择使得全书的逻辑结构异常严密，处处体现出变分原理的美感和普适性。作者在介绍最小作用量原理时，并没有仅仅将其作为一个数学技巧，而是将其提升到了物理学的基本公设地位，这极大地增强了理论的深刻性。阅读这本书的过程，更像是一场高水平的数学思维训练，它要求读者不仅要理解物理概念，更要熟练掌握微分几何和张量分析的语言来描述系统的动力学行为。书中对正则变换和泊松括号的讨论尤为精彩，它巧妙地展示了如何从一个力学体系过渡到另一个等效的、可能更简洁的描述空间。虽然对于初学者来说，其起点设置得较高，需要读者具备扎实的微积分和基础物理知识，但对于那些已经掌握了基础经典力学的学生，这本书是通往更深层次理论物理的必经之路。它所传达的，是对自然界运动规律的一种近乎哲学的、高度统一的理解。

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《线性代数：几何视角》这本书彻底颠覆了我对矩阵和向量的刻板印象。我过去总觉得线性代数是关于求解方程组的机械操作，充满了乘法和加法的枯燥计算。然而，这本书仿佛为我打开了一扇全新的窗户，它将抽象的向量空间和线性变换，通过优雅的几何图像和直观的几何意义来重新诠释。作者在介绍特征值和特征向量时，并非直接给出代数求解步骤，而是将其描绘为“空间中那些方向不变的直线或平面”，这种描述立刻让这些概念变得生动起来。行列式不再仅仅是一个计算公式，而是空间体积（或面积）在经过线性变换后被放大了多少倍的因子。书中对于子空间、基和维度的讲解，也大量依赖于图形化的辅助说明，使得高维空间的概念不再那么虚无缥缈。这本书的叙事风格非常具有感染力，它让你感觉自己不是在学习一门计算技术，而是在探索和理解空间变换的本质规律。对于那些总是在代数和几何之间感到困惑的学习者，这本书无疑是一剂良药，它证明了最好的数学教材是能够将形式美与直观感完美结合的。

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读完《分析教程（修订版）》，我的第一感受是，这套教材的严谨性达到了令人敬佩的程度。它对于微积分中极限和连续性的处理，达到了教科书应有的深度，每一个论断的背后都有着扎实的证明支撑。不同于市面上许多为了追求易读性而牺牲了数学严谨性的教材，这本书在保持逻辑连贯性的同时，对每一个关键概念都进行了细致入微的剖析。例如，它对“一致收敛”的阐述，不仅仅是给出一个定义，而是深入探讨了它与“逐点收敛”在函数空间应用上的巨大差异，并通过一系列精妙的反例来强化这种认识。书中的习题设计也极具匠心，前半部分旨在巩固基础定义，后半部分则直接挑战读者运用所学知识解决更复杂的问题，很多题目本身就蕴含着重要的数学思想。虽然在阅读过程中，我需要经常回翻查阅前面的定义，但这正说明了作者构建知识体系的层次感和递进性——每一步都建立在牢固的地基之上。对于志在深入学习实分析或准备攻读研究生课程的同学而言，这本书提供了必要的“硬核”训练。

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