Nonstandard Analysis and Vector Lattices pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Kutateladze, Semen S. 编

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2000-10

价格:$ 111.87

装帧:

isbn号码:9780792366195

丛书系列:

图书标签:

• Nonstandard analysis
• Vector lattices
• Measure theory
• Functional analysis
• Order theory
• Set theory
• Mathematical logic
• Real analysis
• Abstract algebra
• Topology

《现代拓扑学基础：从点集到纤维丛》 内容简介 本书旨在为读者构建一个全面而深入的现代拓扑学知识体系，覆盖了从最基础的点集拓扑概念，到更为精妙的代数拓扑和微分拓扑的核心理论。本书的编排遵循由浅入深、由具体到抽象的原则，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的直观理解。全书结构严谨，论证详实，旨在成为数学专业学生和研究人员的有力参考工具。 第一部分：点集拓扑学——空间的结构与性质 本部分是全书的基石，详细介绍了拓扑空间的定义、基本概念及其在分析学和几何学中的重要作用。 第一章：拓扑空间的基本概念 本章从集合论的视角出发，严格定义了拓扑空间 $(X, mathcal{T})$。我们详细探讨了开集、闭集、邻域、内点、外点、边界点和极限点的概念。区别于仅依赖于度量的环境，本章强调了拓扑结构独立于任何具体距离函数的本质。我们引入了子空间拓扑、商拓扑和积拓扑的构造方法，并探讨了它们在构建更复杂空间时的实用性。 第二章：连续性与同胚 连续函数是拓扑学中最核心的结构保持映射。本章使用开集定义来精确刻画连续性，并将其推广到拓扑空间之间的映射。同胚（Homeomorphism）被确立为拓扑学研究的等价关系，即拓扑性质相同的空间。通过大量实例，如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的性质，读者将理解拓扑不变量（如连通性）在区分不同空间中的关键作用。 第三章：连通性与紧致性 连通性描述了空间的“整体性”。本章首先定义了连通空间、路径连通空间及其性质。重点分析了路径连通性与连通性的关系，尤其是在局部路径连通空间中的等价性。 紧致性作为一种重要的“有限性”条件，在分析学中扮演着至关重要的角色（如魏尔斯特拉斯极值定理的拓扑推广）。本章详述了紧致空间的定义（开复盖的有限子集性），并通过Tychonoff定理展示了紧致性的乘积性质。我们深入探讨了紧致性和完备性（后将在后续章节中与度量空间结合讨论）在函数空间中的重要意义。 第四章：度量空间——欧几里得几何的推广 虽然拓扑学可以独立于度量存在，但度量空间提供了丰富的直观背景。本章将度量空间置于拓扑学的框架下，讨论了度量诱导的拓扑结构。我们详细分析了完备性、可分性、可数紧致性等概念，并证明了 Heine-Borel 定理，该定理是连接有限维欧几里得空间与紧致性的关键桥梁。 第二部分：代数拓扑学——用代数工具研究空间 代数拓扑学将拓扑空间的几何和结构问题转化为代数运算问题，是现代数学中联系最紧密的交叉学科之一。 第五章：基本群——空间的“洞”的测量 本章引入了第一个重要的拓扑不变量：基本群 $pi_1(X, x_0)$。通过路径的同伦关系，我们定义了基本群的群结构，并证明了它是一个拓扑不变量——即同胚映射诱导出同构的群同态。我们计算了圆周 $S^1$、圆盘 $mathbb{D}^2$ 以及环面等基本群，并利用它们证明了 Brouwer 不动点定理的低维版本。 第六章：同调论导论——更精细的“洞”的分析 相对于基本群的非交换性，同调群提供了更易于计算的、交换的代数不变量。本章从链复形的构造出发，定义了奇异同调群 $H_n(X)$。我们详细解释了边界算子和链映射，并推导出了基本的同调性质，如维度移位映射。重点在于理解 $H_0$ 与连通分量的关系，以及 $H_1$ 与基本群（阿贝尔化）的关系。 第七章：同调群的性质与应用 本章深入探讨了同调群的构造性结果。我们证明了 Mayer-Vietoris 序列，这是一个强大的工具，用于计算由两个开放子空间拼接而成的空间的同调群。通过分解复杂的拓扑空间（如球面 $S^n$），我们计算了其同调群，并再次强调了同调理论在区分拓扑空间方面的优越性。 第三部分：微分拓扑学——光滑结构的引入 当拓扑空间具有一个额外的“光滑”结构时，微分拓扑学便应运而生，它是研究流形的基础。 第八章：流形基础与光滑结构 本章定义了 $n$ 维光滑流形，要求其拓扑结构与 $mathbb{R}^n$ 的结构可以通过局部光滑的坐标变换来关联。我们详细讨论了图册、转移映射和光滑函数的概念。引入了切空间 $T_p M$ 的构造，它标志着从纯粹拓扑到局部线性结构的过渡。 第九章：向量场、微分形式与截面 本章将微积分的概念提升到流形上。我们定义了流形上的向量场，以及微分 $k$-形式。通过外微分 $mathrm{d}$ 算子，我们建立了 Cartan 公式的基本结构。重点分析了微分形式在积分和保守场理论中的应用。 第十章：黎曼度量与曲率（简介） 本章对微分拓扑进行了初步的几何化。我们引入了黎曼度量，它允许我们在流形上定义长度、角度和曲率。虽然本章侧重于概念介绍而非深入的张量分析，但我们概述了 Gauss 绝妙的定理和 Ricci 曲率的概念，为后续的微分几何研究奠定了基础。 --- 本书通过对拓扑学三大分支的系统阐述，力求为读者提供一个坚实而全面的现代几何分析框架。每一章节都包含了大量的习题，旨在巩固理论知识，并鼓励读者进行主动的数学探索。本书的读者对象包括高年级本科生、研究生，以及需要拓扑学背景的研究人员。

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"Nonstandard Analysis and Vector Lattices"——这个书名本身就自带一种高雅而深邃的气息，仿佛邀请我去探索数学世界中两块极其重要的拼图。非标准分析，这个在20世纪后期引起数学界广泛关注的理论，以一种全新的视角审视了无穷小和无穷大的概念，将它们从模糊的直觉概念提升到严谨的数学对象。我一直对它如何用一种更“直观”的方式来处理微积分中的极限问题，以及它是否能为理解那些看似“不那么好处理”的函数提供新的方法，充满着浓厚的兴趣。 我想象书中会带领读者一步步构建起非标准分析的理论框架，从超实数的定义到其在微积分、拓扑学等领域的应用。这就像是为一幅宏伟的建筑蓝图，添加了更加坚固的地基和更加精密的结构细节，使得整个建筑在逻辑上更加稳固，也更加壮观。非标准分析的这种“重新构建”能力，常常能带来对经典数学理论更深刻的理解。 而“向量格”部分，则将数学的触角延伸到了代数和序理论的奇妙世界。向量格，作为一种同时具备向量空间和格结构的数学对象，在数学的许多分支中扮演着核心角色。我期待书中能深入剖析向量格的代数性质、序理论性质，以及它们之间精妙的相互关系，比如完备性、模的性质等等。这些性质往往是理解更复杂的数学结构的基础。 我非常期待书中能够展示非标准分析如何与向量格理论进行“对话”和“融合”。设想一下，运用非标准分析的方法来研究向量格的完备化过程，或者利用向量格的某些性质来构建非标准分析中的特定模型。这种学科的交叉往往能产生出意想不到的化学反应，催生出新的研究思路和数学工具，为解决现有难题提供新的武器。 总而言之，这本书在我眼中，是一部挑战思维极限、融合前沿理论的学术瑰宝。它不仅能够深化对现有数学理论的理解，更能激发对数学未来发展方向的思考。这本书无疑会吸引那些对数学的抽象美、逻辑严谨性和理论创新性有着不懈追求的数学爱好者和研究者。

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这本书的书名，"Nonstandard Analysis and Vector Lattices"，像是一个数学宝藏的藏宝图，指引着我去探索那些潜藏在数学深处的精妙思想。我一直对那些能够颠覆我们对基本概念认知的理论体系非常着迷，而非标准分析无疑就是这样一种力量。它敢于挑战传统，用一种全新的、更具直觉性的方式来构建数学语言，让那些看似遥不可及的无穷概念变得触手可及。 我尤其好奇书中会如何处理那些“无限小”和“无限大”的量。在标准分析中，我们依赖于极限的概念来定义导数和积分，但非标准分析似乎提供了一种更直接的方式来处理这些无穷的概念，就像它们是真正的“数字”一样。这让我想到，这样的方法是否能为解决一些传统方法难以攻克的数学难题提供新的思路，或者以一种更简洁、更优雅的方式来阐述某些深刻的数学定理？ 而“向量格”这个词，则让我联想到了一片更加广阔的数学风景。向量格，这种既是向量空间又是格的数学对象，本身就充满了丰富的结构和性质。我猜想书中会深入探讨向量格的代数特性和序理论特性，以及它们之间的相互作用。例如，完备的向量格在函数空间和测度论中扮演着重要角色，而这些理论在物理学、概率论等领域都有着重要的应用。 我期待书中能够展示非标准分析如何与向量格理论相结合，产生出火花。或许，非标准分析的工具可以用来研究向量格的完备性，或者对某些特定的向量格结构进行更精细的刻画。这种交叉研究往往能带来意想不到的发现，就像在不同河流的汇聚之处，会形成更强大的水流，孕育出更丰富的生态。 这本书，仅仅从书名和我的初步想象来看，就仿佛是一扇通往新数学世界的门。它吸引着我，想要去一探究竟，看看作者是如何将这两个看似独立却又可能紧密联系的数学领域编织在一起，构建出一部引人入胜的数学画卷。它应该是一本能够挑战思维、拓展视野的杰作。

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翻开这本书的封面，"Nonstandard Analysis and Vector Lattices"这几个字就立刻吸引了我的目光，仿佛一个信号，预示着一场关于数学思想深邃旅程的开始。非标准分析，这个理论的出现，在我看来，是对传统数学思维的一次深刻的“重塑”。它敢于拥抱那些曾经被视为“不可靠”的无穷小和无穷大量，并赋予它们严谨的数学地位。我一直对它如何用一种更加接近直觉的方式来阐述微积分的精髓，以及它能否为解决一些“边缘”的数学问题提供新的视角，感到无比好奇。 我相信书中会细致入微地介绍非标准分析的构建方法，例如超实数的引入，以及如何利用这些超实数来定义连续性、导数、积分等等。这就像是为我们熟悉的数学语言，增添了更丰富的词汇和更精准的语法，使得表达更加自由，理解更加深刻。这种理论上的“扩充”，往往能打开新的数学视野。 而“向量格”这个概念，则将我的思绪引向了代数和序理论的交织之地。向量格，这种结合了向量空间和格结构的数学对象，其丰富的内在属性在泛函分析、概率论、甚至在一些理论物理领域都有着至关重要的作用。我期待着书中能够详细阐述向量格的各种关键性质，比如完备性、模的分解能力，以及它们在不同数学场景下的强大威力。 将非标准分析的锐利工具与向量格的精妙结构相结合，这本身就是一个令人兴奋的课题。我猜想书中会探索如何利用非标准分析的方法来研究向量格的某些复杂性质，例如如何用超滤子的方法来构建某些特定向量格的完备化，或者如何用非标准分析的语言来描述向量格上的某些算子。这种跨学科的融合，往往能够碰撞出耀眼的智慧火花，催生出新的研究方法和理论工具。 总体而言，这本书给我的感觉是一部充满数学洞察力、逻辑严谨性与理论创新性的杰作。它不仅仅是关于知识的传递，更是关于思维方式的启迪，是数学探索者们不可错过的宝藏，必将引领读者进入一个更加广阔和深刻的数学世界。

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读到“Nonstandard Analysis and Vector Lattices”这个书名，我脑海中立刻浮现出一种严谨而又充满创造力的数学探索画面。非标准分析，这个曾经挑战了数学基础的理论，如今已经发展成为一个成熟的研究领域，它以一种独特的方式重新审视了无穷小和无穷大的概念，为微积分和实分析提供了更扎实的地基。我对它如何处理那些我们习以为常但背后却充满微妙逻辑的极限过程感到非常好奇。 我设想书中会详细介绍非标准分析的基本构建，比如超实数系统，以及如何用超实数来定义连续性、可导性、积分等基本概念。这就像是给一个古老而优美的雕塑，用一种全新的、更加精密的工具进行打磨，使其细节更加清晰，结构更加稳固。这种重新审视和精确化，往往能揭示出许多之前未被注意到的数学真理。 而“向量格”的概念，则将数学的目光引向了代数和序理论的交汇处。向量格，一种兼具向量空间和格结构的数学对象，具有丰富的内在联系，它的性质在泛函分析、概率论、统计学等多个领域都有着举足轻重的地位。我猜想书中会深入探讨向量格的各种类型，例如阿基米德格、完备格、模格等，以及它们在不同数学场景下的应用。 将非标准分析与向量格相结合，这本身就是一个极具吸引力的研究方向。我期待书中能够展示如何运用非标准分析的工具来研究向量格的性质，例如如何用超滤子来构造某个向量格的完备化，或者如何用非标准的方法来理解某些向量格上的算子。这种结合，就像是为一件精密的机械，加入了更先进的控制系统，使其能够实现更复杂、更精妙的功能。 这本书，在我看来，是一部深度融合了抽象理论与应用潜力的学术著作。它不仅仅是数学概念的罗列，更是对数学思想的深刻挖掘和创新性发展。我期待着能够从中学习到数学的精髓，拓展自己的数学视野，并从中获得解决实际数学问题的灵感。

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这本书的封面设计很有质感，一看就让人联想到学术的严谨与深邃。书名“Nonstandard Analysis and Vector Lattices”本身就充满了数学的魅力，非标准分析与向量格的结合，这绝对是数学领域中令人兴奋的交叉学科。我一直对理论数学的抽象美感和逻辑构建充满好奇，而这本书恰恰提供了这样一个深入探索的绝佳机会。 我设想这本书会带领读者遨游在非标准分析的无限世界里，在那里，无穷小量和无穷大量不再是模糊的概念，而是被严格定义和运用。想象一下，用一种全新的视角来理解微积分、实分析，甚至拓扑学，这本身就是一种智力上的冒险。非标准分析的严谨性能够为许多经典的数学定理提供更坚实的基础，或者揭示出隐藏在表面之下的深刻联系。 而向量格的部分，则预示着本书会触及代数和序理论的精髓。向量格作为一种带有格结构的向量空间，在泛函分析、测度论以及更广泛的数学领域中扮演着至关重要的角色。我期待着书中能详细阐述向量格的各种性质，例如完备性、正规性、分解性质等，以及它们在不同数学分支中的应用。 将这两者结合起来，非标准分析与向量格的交汇点，无疑会产生令人惊喜的洞见。我推测书中会探讨如何利用非标准分析的工具来研究向量格的性质，或者如何将向量格的理论应用于非标准分析的某些特定问题。这种跨学科的融合往往能催生出全新的研究方向和数学工具。 总而言之，这本书给我留下的第一印象是，它是一部集理论深度、数学严谨性和研究前沿性于一身的学术著作。虽然我尚未深入阅读，但仅凭其精炼的书名和封面设计，我便能感受到其中蕴含的巨大智力宝藏，以及作者为了构建这些数学体系所付出的巨大心血。它无疑会吸引那些热爱抽象数学、追求理论深度、渴望探索数学未知领域的读者。

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