Mathematics for Dynamic Modeling, Second Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Edward Beltrami

出品人:

页数:219

译者:

出版时间:1997-10-2

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780120855667

丛书系列:

图书标签:

• 数学建模
• 动态系统
• 微分方程
• 数值分析
• MATLAB
• 控制理论
• 优化
• 科学计算
• 应用数学
• 工程数学

动力系统建模导论：理论、方法与应用 一部面向工程师、物理学家及应用数学家的综合性教材 本书核心聚焦于构建、分析和求解描述动态现象的数学模型。它将严谨的数学框架与广泛的工程、科学应用相结合，旨在为读者提供一套坚实的动力系统建模工具箱，无论是在理论探索还是实际问题解决中，都能得心应手。 --- 第一部分：基础概念与一维系统分析 本部分系统地介绍了动力系统建模的基本范式，从最简单的系统出发，逐步深入到更复杂的非线性现象。 第1章：动态建模的基本要素 本章确立了本书的理论基础。我们首先探讨了“模型”的本质——它如何从观察到的物理现象中提炼出数学结构。重点讨论了连续时间和离散时间系统的基本区别，以及状态空间表示法（State-Space Representation）的建立。 从物理定律到微分方程： 详细阐述了如何利用牛顿第二定律、基尔霍夫定律（KCL/KVL）以及能量守恒原理，构建描述机械、电路和热力学过程的一阶和二阶常微分方程（ODEs）。 模型简化与尺度分析： 引入特征时间尺度（Characteristic Timescales）的概念，教授如何通过摄动理论（Perturbation Theory）和刚性（Stiffness）分析来简化高维模型，从而聚焦于最关键的动态行为。 稳定性概念的初步引入： 介绍平衡点（Equilibrium Points）的定义及其线性化分析方法，为后续章节的相平面分析奠定基础。 第2章：一维系统的相平面分析 一维系统是理解非线性动力学行为的基石。本章专注于对 $dot{x} = f(x)$ 形式的系统进行几何和定性分析。 平衡点的分类与性质： 深入探讨了鞍点（Saddle）、结点（Node）和极限环（Limit Cycle）在低维空间中的直观表现。 可解性与初值问题： 讨论了可分离变量法和积分因子法在求解特定一维非线性方程中的应用，以及在数值求解前对解的全局行为的预测能力。 分岔理论的萌芽： 通过最简单的非线性模型（如Logistic映射或Pitchfork分岔的连续对应物），初步展示参数变化如何导致系统定性行为的突变。 --- 第二部分：二阶系统的定性分析与几何方法 二阶系统在工程中极为常见（如控制系统、振动学），且其相图提供了丰富的几何洞察力。 第3章：相平面分析的深化 本章将二维状态空间 $mathbb{R}^2$ 视为一个几何场，系统地分析轨迹（Trajectories）的演化。 奇点分析： 对线性系统 $dot{mathbf{x}} = Amathbf{x}$ 的所有奇点类型（稳定/不稳定结点、鞍点、稳定/不稳定焦点）进行特征值分析，并结合柯恩-林德伯格（Cohen-Lindeburg）准则进行分类。 李雅普诺夫函数（Lyapunov Functions）： 介绍构造李雅普诺夫函数（直接法）来判断系统全局稳定性的强大工具，尤其适用于那些难以解析求解的非线性系统。 极限环的判定： 详细介绍庞加莱-本迪克森定理（Poincaré-Bendixson Theorem）在二维平面上证明极限环存在的条件和方法。 第4章：稳态分析与线性化 本章侧重于系统在长期运行下的行为，特别是当系统行为偏离线性模型时如何进行局部预测。 雅可比线性化： 探讨如何通过在平衡点周围进行一阶泰勒展开，将复杂的非线性系统近似为局部线性的系统，并利用特征值分析来确定局部稳定性。 霍普夫分岔（Hopf Bifurcation）： 详细分析了当一对特征值穿越虚轴时，稳定焦点如何转变为极限环（或反之）的过程，这是自激振荡（Self-Oscillation）产生的核心机制。 保守系统与耗散系统： 区分保守（如Hamiltonian系统）和耗散系统的轨迹特性，并讨论辛积分器（Symplectic Integrators）在长时间模拟保守系统时的优势。 --- 第三部分：高维系统与全局行为 随着系统维度的增加，相平面几何分析变得不可行，需要引入更抽象的分析工具。 第5章：线性系统理论与可控性/可观测性 本部分重温并深化了线性系统（$dot{mathbf{x}} = Amathbf{x} + Bmathbf{u}$）的理论，这些概念是理解高维非线性系统局部行为的关键。 解的矩阵指数形式： 深入探讨状态转移矩阵 $Phi(t) = e^{At}$ 的计算及其在求解非齐次方程中的应用。 可控性（Controllability）和可观测性（Observability）： 引入卡尔曼可控性/可观测性矩阵，并讨论这些概念在系统设计（如极点配置）和状态估计（如卡尔曼滤波器的预备知识）中的决定性作用。 第6章：全局结构与延迟系统导论 本章探索超越局部稳定性的概念，引入更复杂的动力学现象和更具挑战性的模型类型。 吸引子（Attractors）的概念： 区分固定点、极限环以及更复杂的奇异吸引子（Strange Attractors），并引入李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）作为衡量混沌（Chaos）的定量指标。 庞加莱截面（Poincaré Sections）： 介绍如何使用此工具将高维流（Flow）的分析降维到较低维度的离散映射（Map）分析上，从而揭示混沌行为的结构。 延迟微分方程（DDEs）： 讨论具有时间延迟的系统（$dot{x}(t) = f(x(t), x(t- au))$）的建模需求（如生物反馈系统、长距离控制），并探讨延迟对系统稳定性的深刻影响（如延迟对特征方程根的影响）。 --- 第四部分：数值方法与应用建模 最后一部分将理论分析与实际计算相结合，为读者提供求解复杂模型的实用技术。 第7章：常微分方程的数值积分 当解析解不可得时，可靠的数值方法至关重要。 单步法与多步法： 详细分析欧拉法、龙格-库塔（Runge-Kutta, RK4）方法的原理、局限性与误差分析。 刚性问题的处理： 引入隐式方法（如后向欧拉法）和BDF（Backward Differentiation Formulas）的必要性，以处理具有非常快和慢时间尺度的刚性系统。 符号稳定性的比较： 讨论不同数值积分器在保持系统长期定性行为（如能量守恒或约束条件）方面的优劣。 第8章：应用案例研究 本章通过深入剖析多个真实世界的建模案例，展示前面所有理论和方法的综合应用。案例可能包括： 生物动力学模型： 捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra）的非线性分析与参数辨识。 电路仿真： 洛伦兹（Lorenz）吸引子的生成和对混沌效应的理解。 控制系统设计： 状态反馈设计中如何利用可控性知识来选择控制器增益，以确保系统渐近稳定或收敛到期望的周期解。 本书特点： 强调直觉几何解释： 即使在复杂的数学推导中，也始终辅以相图、轨迹演化和拓扑变化的直观理解。 注重分析与计算的平衡： 读者将学会何时可以进行精确的解析分析，何时必须转向强大的数值工具。 严谨的数学推导： 确保所有结论都有坚实的数学基础，避免了纯粹的“黑箱”方法。 目标读者： 高年级本科生、研究生，以及需要将动态系统建模技术应用于研究和工程实践的专业人士。对微积分和线性代数有扎实基础的读者将受益匪浅。

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