具体描述
This volume presents some of the lectures and research during the special programme held at the Newton Institute in 1994. The book, in two parts, begins with an introductory overview. The two parts each contain a mix of substantial expository articles and research papers that outline important and topical ideas. Many of the results have not been presented before. Symplectic methods are one of the most active areas of research in mathematics currently, and this volume will attract much attention.
好的，这是一本名为《联系与辛几何》的书籍的详细简介，其中不包含您所提及的该书内容。 --- 《拓扑结构、微分流形与流形上的分析：现代几何学的基石》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代微分几何基础，侧重于拓扑结构在研究流形上的应用，以及如何利用分析工具来理解和描述这些几何对象。本书的目标读者包括高年级本科生、研究生以及对纯数学和理论物理学交叉领域感兴趣的研究人员。全书结构清晰，内容循序渐进，从基础概念出发，逐步深入到更抽象和前沿的主题。 第一部分：基础拓扑与流形的引入 本书伊始，我们首先建立起研究几何结构所必需的拓扑学基础。我们详细阐述了度量空间、拓扑空间、连续性、紧致性、连通性等核心概念。重点关注了代数拓扑的初步工具，如基本群和同伦群，这些工具在区分拓扑空间方面扮演了关键角色。 随后，我们正式引入微分流形的严格定义。讨论了什么是光滑结构、切丛、向量丛以及向量场的概念。我们将流形视为局部欧几里得空间，但其全局结构可能非常复杂。通过大量的实例，如球面、环面、射影空间等，读者将熟悉如何构造流形上的坐标系和图册。我们详细讲解了光滑函数、光滑映射的微分，并引入了重要的概念——张量场，它们是描述流形上几何性质的基础语言。 第二部分：纤维丛、联络与微分形式 在理解了流形的基础构造之后，本书深入探讨了纤维丛理论。纤维丛是现代几何学的核心结构，它允许我们将局部信息（纤维）以一致的方式“粘合”起来，形成全局结构。我们详细分析了向量丛，特别是切丛和余切丛。 此部分的核心在于联络的引入。我们讨论了黎曼几何中不可或缺的“平行移动”概念，并将其推广到更一般的纤维丛上，即引入了射中联络（Connection）。我们对爱因斯坦-卡坦理论中的挠率和曲率进行了详尽的分析，解释了这些不变量如何捕捉流形结构中的“弯曲”和“扭曲”。 紧接着，本书转向微分形式的代数结构。我们详细介绍了楔积、李导数和外微分算子，并着重分析了德拉姆上同调群。德拉姆上同同调提供了一种纯粹基于微分结构来研究拓扑信息的方法，它直接与拓扑同调理论相关联。我们证明了庞加莱引理和德拉姆定理，展示了微分形式在理解流形上拓扑不变量的强大能力。 第三部分：流形上的分析方法 本书的分析部分聚焦于如何将微积分和泛函分析的工具应用于流形。我们讨论了流形上的积分理论，包括霍奇定理的预备知识。重点介绍了流形上的黎曼度量和测地线方程，这是连接微分几何与广义相对论的桥梁。 我们深入探讨了椭圆算子，特别是拉普拉斯-德拉姆算子。我们将流形上的函数的分析性质与其几何拓扑属性联系起来，例如，通过分析拉普拉斯算子的谱来获取流形的几何信息。本书详细阐述了霍奇理论，包括霍奇分解、上同调的微分形式理论，以及其在调和函数和向量场的分析中的应用。 第四部分：特征类与拓扑不变量 在掌握了基础工具后，本书转向了更高级的几何拓扑不变量——特征类。我们系统地介绍了陈类（Chern classes）和庞加莱对偶性。我们阐述了辛恩-韦伊（Weil）同态，该工具允许我们将特征类与联络的曲率形式联系起来。 本部分的关键成果包括甘斯-布雷特定理（Gauss-Bonnet Theorem）和阿蒂亚-辛格指数定理的背景介绍。尽管本书不深入指数定理的完整证明，但我们详细讨论了其几何直觉和其在拓扑与分析之间的深刻联系，特别是如何在奇点处通过局部曲率信息来推导出全局拓扑信息。 结论与展望 全书以对流形上几何结构进行统一描述的愿景收尾。通过结合代数拓扑的结构洞察、微分几何的局部构造能力以及分析学提供的全局工具，本书描绘了一幅现代几何学的全景图。读者将能够理解如何从基础的局部坐标系出发，构建出描述复杂空间拓扑和几何性质的强大数学框架。本书强调的是，几何对象的“结构”和“分析”是不可分割的统一体。 ---
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