具体描述
Excellent textbook provides undergraduates with an accessible introduction to the basic concepts of abstract algebra and to the analysis of abstract algebraic systems. Features many examples and a large number of problems of varying levels of difficulty at the end of each chapter.
好的，以下是一本名为《代数几何导论》的图书简介，此书内容完全不涉及《Abstract Algebra》中的概念和主题。 --- 代数几何导论 (Introduction to Algebraic Geometry) 作者： [虚构作者姓名，例如：李明, 王芳] 出版社： [虚构出版社名称，例如：现代数学文库出版社] ISBN： [虚构ISBN] 内容简介 《代数几何导论》是一本旨在为高等数学、几何学以及理论物理背景的读者提供坚实基础的教材。本书的核心目标是系统地介绍现代代数几何的经典概念和基本工具，重点关注由多项式方程定义的几何对象——代数簇（Algebraic Varieties）。全书结构清晰，逻辑严密，兼顾了理论的深度与初学者的可理解性。 代数几何是连接代数与几何的强大桥梁。它通过研究多项式方程组的解集（几何对象），运用抽象代数的工具（如环论、域论）来剖析这些对象的结构、维度和奇异性。本书从最基础的设置开始，逐步引导读者进入这个迷人而深邃的领域。 第一部分：基础与预备知识 本书的开篇致力于构建必要的代数基础，但这些基础主要集中在交换代数而非群论或环结构分类上。 1. 环与理想的复习与深化： 详细回顾了交换环、素理想、极大理想的概念。重点引入了局部化 (Localization) 的概念，这是代数几何中至关重要的技术。我们深入探讨了环 $R$ 的局部化 $R_P$ 如何捕捉点 $P$ 处的几何信息，并详细介绍了 $R$ 上的理想与其在局部化后理想的关系。 2. 射影空间 (Projective Space)： 与欧几里得空间（仿射空间）不同，射影空间是代数几何中最自然的研究环境，它能“封闭”所有无穷远处的点，从而避免了许多特殊情况。本书详细介绍了 $mathbb{A}^n$ (仿射空间) 到 $mathbb{P}^n$ (射影空间) 的构造过程，使用齐次坐标来定义射影簇，并详细论证了为何射影几何比仿射几何在许多方面更为优越（例如，射影空间是完备的）。 3. 零点集与理想的对应关系 (Zariski Topology)： 引入了代数几何中最基本的拓扑结构—— Zariski 拓扑。虽然它不如欧几里得拓扑那样“优秀”（例如，它不是豪斯多夫的），但它是由代数定义的几何对象的内在拓扑。本书花费大量篇幅讨论了由理想 $I subset K[x_1, dots, x_n]$ 定义的零点集 $V(I)$ 的性质，并介绍了希尔伯特零点定理（Nullstellensatz），这是连接理想与几何集合的基石。 第二部分：簇的结构与性质 在建立了基础和拓扑框架后，本书开始系统研究代数簇的内在几何特征。 4. 簇的定义与分解： 详细区分了仿射簇、射影簇和抽象簇的概念。引入了不可约性 (Irreducibility) 和既约分解 (Irreducible Decomposition)，这是理解复杂几何对象的基础。我们展示了如何将任何代数簇分解为其不可约的、极大（闭的）子簇的并集。 5. 结构层与凝聚层： 这是本书从经典代数几何走向现代代数几何的关键一步。我们引入了环片空间 (Ringed Spaces) 的概念，特别是针对代数簇的结构层 $mathcal{O}_X$。本书详细解释了 $mathcal{O}_X$ 如何在每个开集上定义了该区域上的“良好函数”（即由多项式定义的函数），从而赋予了簇以微分流形所拥有的局部函数环的概念。 6. 局部性质：奇点与切空间： 几何对象上的“不好”的点，即奇点，是代数几何的核心研究对象之一。我们使用局部环的性质（如正则局部化）来精确地识别和分类这些奇点。 正则局部环 (Regular Local Rings)： 它们对应于光滑点。我们引入了极大理想的生成元个数（即克鲁尔维度）与环的正则性之间的联系（Euler 关系）。 切空间 (Tangent Space)： 详细定义了代数簇在一点上的代数切空间，并证明了该切空间维度与该点的局部正则性之间存在直接关系。 第三部分：维度、映射与更高级概念 最后一部分将视角从局部推广到全局，并引入了关于簇之间关系的关键工具。 7. 维度理论 (Dimension Theory)： 维度不再仅仅是坐标的数量，而是一个内在的不变量。本书严格定义了代数簇的维度，并利用交换代数中的Krull 维度和Culminating Chain的概念来证明其定义的一致性。我们证明了著名的主理想定理 (Principal Ideal Theorem) 的推广形式在光滑簇上的体现。 8. 态射 (Morphisms)： 态射是代数簇之间的“连续”映射，它们保持了代数结构。本书定义了簇之间的态射，并展示了态射如何诱导出结构层之间的逆变映射。 双有理等价 (Birationnal Equivalence)： 我们探讨了局部上等价但全局上不全等的对象，并介绍了Blow-ups（爆破）这种基本的几何操作，它用于消除奇点，从而研究两个簇之间在函数层面上的关系。 9. 线性化与向量丛： 对于射影空间上的簇，我们可以利用其与 $mathbb{P}^n$ 的关系，引入线丛 (Line Bundles) 和向量丛 (Vector Bundles) 的概念。本书侧重于研究典范环 (Canonical Ring) 与反典范性 (Anticanonicity)，这些是判断簇“复杂性”和“有理性”的重要代数不变量。 本书特色 严格的代数基础： 全书建立在坚实的交换代数（特别是局部化、提升和同调方法的基础之上，但避开了过于抽象的范畴论和概形理论）。 清晰的几何直觉： 尽管方法是代数的，但每一项定义和定理都配有丰富的二维或三维几何例子（如圆锥、球面、扭曲的立方面等），帮助读者建立直观理解。 侧重古典对象： 本书专注于仿射簇和射影簇的研究，避免了概形论的复杂性，确保了初学者的平稳过渡。 《代数几何导论》是数学系研究生、高级本科生以及几何物理研究人员的理想参考书，它为深入研究代数簇的拓扑、奇点和分类奠定了不可或缺的知识基础。 ---
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