Variational Methods for Eigenvalue Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gould, Sydney Henry

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:1995-9

价格:$ 8.98

装帧:

isbn号码:9780486687124

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 特征值问题
• 变分法
• 有限元
• 数值方法
• 数学建模
• 偏微分方程
• 优化算法
• 计算数学
• 应用数学

跨越经典与前沿：计算物理与应用数学的交汇点 本书聚焦于现代科学计算的核心挑战——高效、精确地求解大型矩阵的特征值问题。 我们将带领读者深入探讨一套完备的数值方法工具箱，这些工具不仅是理论研究的基石，更是工程实践中解决复杂物理现象的关键。全书旨在为研究生、高级本科生以及从事计算科学、物理学、材料科学和工程力学的研究人员提供一个结构严谨、内容深入的指导手册。 本书的结构设计遵循从理论基础到高级应用的递进路线，确保读者能够扎实地掌握每种方法的数学原理、计算实现细节以及在特定应用场景下的优缺点。我们坚信，理解“为什么”比简单地记住“怎么做”更为重要。 --- 第一部分：特征值问题的数学基础与背景 本部分为后续深入的数值方法奠定必要的理论基础。 第一章：特征值问题的再认识与应用场景 本章首先回顾了线性代数中特征值问题的标准定义 ($mathbf{Ax} = lambda mathbf{x}$)，并迅速将其置于现代科学的语境中。我们将探讨特征值问题在量子力学（薛定谔方程的离散化）、结构动力学（模态分析）、光谱分析（主成分分析PCA）、以及图论（谱聚类）中的核心地位。重点讨论了在实际应用中，矩阵 $mathbf{A}$ 通常具有的特性：对称性、稀疏性、正定性或不定性。 第二章：矩阵分析与稳定性 在数值计算中，矩阵的性质直接决定了算法的选择和收敛性。本章深入探讨矩阵的范数、条件数、特征值的分布（如Gershgorin圆定理的应用）。特别关注谱间隙的概念及其对迭代方法收敛速度的影响。对于非对称矩阵，我们讨论了左、右特征向量的相互作用，以及可能出现的复数特征值和非正交特征向量带来的数值挑战。 第三章：算子理论与无限维空间的推广 为了将有限维的矩阵问题与无限维的偏微分方程（PDEs）联系起来，本章引入了希尔伯特空间的基本概念，以及自伴算子（Self-Adjoint Operators）的谱理论。我们将探讨如何将连续问题（如拉普拉斯算子）通过有限差分、有限元方法或谱方法离散化，并详细分析这些离散化过程如何保持原算子的重要性质（如对称性和正定性）。 --- 第二部分：直接求解法与稀疏矩阵的挑战 直接法虽然在理论上提供了精确的解（受限于浮点精度），但在处理超大规模问题时，其内存和计算复杂度的瓶颈尤为突出。 第四章：经典的直接方法 本章回顾了经典的直接方法，如相似变换法（通过正交变换将矩阵转化为对角或拟对角形式）。详细分析了QR算法的原理，包括Householder反射和Givens旋转的应用，以及如何通过Hessenberg约化来显著降低计算成本。我们还将探讨如何利用分块技术加速和优化这些迭代步骤。 第五章：稀疏矩阵的存储与预处理 在涉及网格问题（如FEM/FDM）时，矩阵 $mathbf{A}$ 极度稀疏。本章专注于稀疏矩阵的存储格式（如CSR, CSC, DIA）及其对内存访问效率的影响。重点讨论了如何通过稀疏矩阵重新排序（如最小度数算法）来最小化Cholesky分解或LU分解中的填充因子（Fill-in），这是直接求解法在稀疏系统中的核心优化点。 --- 第三部分：迭代求解法的核心原理 对于现代科学计算中遇到的绝大多数特征值问题（$N > 10^6$），迭代法是唯一可行的途径。本部分是全书的重点。 第六章：子空间迭代与Lanczos过程 本章引入了迭代法的基本框架——寻找一个低维子空间，使得特征值问题在该子空间上得到精确（或近似）解。 子空间迭代法 (Subspace Iteration): 详细分析了如何利用矩阵的幂作用于一组初始向量来追踪最大特征值，并讨论了如何通过正交化步骤（如Gram-Schmidt）来保持子空间的跨度和收敛性。 Lanczos 算法： 针对对称或Hermitian矩阵，这是构建三对角矩阵 ($mathbf{T}_m$) 的最有效方法。本章详细阐述了Lanczos迭代的递推关系，以及如何通过求解 $mathbf{T}_m mathbf{y} = heta mathbf{y}$ 从而得到原问题的 Ritz 值和 Ritz 向量。我们深入探讨了Lanczos过程的失张性 (Loss of Orthogonality) 问题及其对长序列计算的实际影响。 第七章：Arnoldi 迭代与非对称矩阵 当矩阵 $mathbf{A}$ 不对称时，Lanczos算法的对称性假设失效。本章介绍Arnoldi 算法，它是Lanczos算法的推广。Arnoldi迭代构建一个上Hessenberg矩阵 $mathbf{H}_m$。我们讨论了Arnoldi方法的收敛特性，并着重分析了当特征值出现聚簇或当 $mathbf{A}$ 是非正规矩阵时，Hessenberg矩阵上的求解误差。 第八章：预处理技术与加速收敛 迭代法的性能在很大程度上取决于预处理器的质量。本章专门探讨如何改进特征值迭代的收敛速度。 谱重排 (Spectral Transformation): 讨论了Shift-and-Invert（移位-求逆）策略，它如何利用求逆运算将目标特征值映射到谱的边缘，从而被标准迭代法快速捕捉。 预处理器的构建： 针对求解线性系统 $(mathbf{A} - sigma mathbf{I})mathbf{x} = mathbf{b}$ 的需要，讨论了代数多重网格（AMG）和基于稀疏LU分解的预处理器的原理及其在特征值求解中的应用。 --- 第四部分：高级算法与大规模应用 本部分关注当前最先进的、能够处理数十亿规模特征值问题的算法。 第九章：求解大规模特征值问题的标准框架 本章系统性地介绍了现代大规模特征值求解器的基础——二次收敛的迭代法。 Davidson 方法： 作为一种高效的修正方法，Davidson方法通过引入一个“预处理修正项”来加速Ritz向量的更新。我们详细分析了其理论依据，并讨论了在构建高效修正向量方面的实用技巧。 Jacobi-Davidson 方法： 这种方法基于残差的牛顿校正思路。本章详述了Jacobi-Davidson框架，特别是其核心的校正方程求解，并解释了如何通过求解一个修正的小型线性系统来获得更精确的Ritz向量更新，从而实现二次或接近二次的收敛速度。 第十章：并行计算与分布式内存环境 现代特征值问题通常在分布式内存集群上求解。本章聚焦于如何将上述迭代算法移植到MPI环境中。 矩阵向量乘法（MVPs）的并行化： 针对稀疏矩阵，讨论了基于行或列分布的并行策略，以及通信开销的优化。 分布式Lanczos/Arnoldi： 讨论了如何在分布式环境中管理和正交化基向量，特别是如何处理由于通信延迟导致的近似正交性问题。重点介绍使用局部化（Blocking）技术和块Krylov子空间来平衡计算与通信的需求。 第十一章：处理特征值群与边界值问题 某些物理问题要求找到一簇紧密聚集的特征值（例如材料的多个低能级）。本章探讨了如何专门优化算法来提取特征值簇。我们将讨论子空间迭代的改进版本，以及如何结合更精细的收敛标准来确保簇内所有向量的精度。 --- 附录与工具箱 附录部分提供了理论与实践之间的桥梁。包括：浮点数对收敛性的影响回顾、常用矩阵分解算法的稳定性分析，以及一个关于如何利用高性能计算库（如ScaLAPACK, ARPACK或PETSc）实现这些算法的实践指南，重点是如何选择和配置合适的参数以适应特定规模和特性的矩阵。 本书承诺提供清晰的算法流程图、收敛性分析的严格证明，以及对每种方法计算成本的量化评估，旨在使读者不仅能够应用这些工具，更能根据实际需求设计和改进它们。

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