Theory of Approximation of Functions of a Real Variable pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Timan, A.F.

出品人:

页数:631

译者:

出版时间:1994-1

价格:$ 16.89

装帧:

isbn号码:9780486678306

丛书系列:

图书标签:

• 逼近理论
• 函数逼近
• 实变量函数
• 数值分析
• 数学分析
• 插值
• 逼近算法
• 正交多项式
• 逼近论
• 数值方法

逼近理论：经典视角与现代前沿 本书《函数逼近理论》深入探讨了数学分析中一个核心且富有魅力的分支——逼近理论。逼近理论关注的是如何用一系列“简单”或“已知”的函数来近似一个更复杂的函数。这种近似不仅仅是为了简化计算或可视化，更是揭示函数内在结构、理解函数性质以及解决实际问题的关键工具。本书的叙述力求严谨且富有启发性，旨在为读者构建一个扎实的理论基础，并展现逼近理论在各个数学分支以及应用领域中的强大生命力。 第一部分：逼近的基石——经典逼近方法 本书的开篇，我们将从逼近理论最经典、最基础的方法入手。首先，我们将详细阐述多项式逼近。在此，我们将重温并深化对Weierstrass逼近定理的理解，它保证了在紧区间上连续的任意函数都可以被多项式任意精度地逼近。我们将详细分析不同类型的多项式逼近，例如： Taylor多项式： 探讨了函数在某一点的局部性质，以及其逼近的误差界限。我们将分析Taylor级数收敛的条件，以及在何种情况下Taylor多项式能够精确地表示函数。 Lagrange插值多项式： 关注于通过一系列给定点来构造多项式。我们将深入研究其构造方法、唯一性，以及误差的显式表达。在此，我们将引入Legendre多项式和Chebyshev多项式，并展示它们在插值问题中的优越性，尤其是在减少Runge现象方面。 Chebyshev逼近： 讨论在L∞范数意义下的最优多项式逼近。我们将介绍Equioscillation定理，它是Chebyshev逼近理论的核心，并据此探讨如何寻找最优逼近多项式。 在深入理解多项式逼近之后，我们将拓展到更广泛的函数类。 三角多项式逼近： 针对周期函数，我们将介绍Fourier级数。Fourier级数是将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和，这在信号处理、微分方程求解等领域具有极其重要的应用。我们将详细研究Fourier级数的收敛性，包括逐点收敛、一致收敛和L²收敛，并探讨Dirichlet核的作用。 Fourier多项式： 作为Fourier级数的有限截断，Fourier多项式是周期函数的重要逼近工具。我们将分析其逼近误差，并介绍Fejér均值，它提供了一种更优的逼近方法，克服了Fourier级数在不连续点附近的振荡问题。 除了多项式和三角多项式，本书还将介绍其他重要的逼近方式： 样条函数逼近： 样条函数是由分段多项式组成的函数，在连接处具有一定的光滑性。我们将重点介绍三次样条，并阐述其在计算机辅助设计（CAD）、数据插值等领域的广泛应用。我们将分析样条插值的构造方法、存在性与唯一性，以及其逼近的性质。 第二部分：度量空间中的逼近——泛函分析的视角 随着逼近理论的发展，其研究对象已不再局限于实数域上的函数。本书将引入度量空间和赋范线性空间的概念，将逼近理论推广到更一般的函数空间，例如Lp空间、C(K)空间等。 最佳逼近： 在度量空间中，我们将定义距离（或范数），并引入最佳逼近的概念。对于空间中的一个元素（函数），我们寻找空间中某个子集（例如多项式空间）中最接近它的元素，使得它们之间的距离最小。我们将深入探讨最佳逼近算子的存在性、唯一性以及性质。 线性逼近与非线性逼近： 我们将区分线性逼近（逼近集合是线性子空间）和非线性逼近（逼近集合不是线性子空间）。大部分经典方法属于线性逼近，而非线性逼近则提供了更灵活的逼近策略。 逼近的收敛性： 在函数空间中，我们研究不同类型的收敛性，如逐点收敛、一致收敛、Lp收敛等。我们将分析这些收敛性之间的关系，并探讨它们对逼近性质的影响。 在此部分，我们将引入一些关键的函数空间性质，例如可分性、完备性，以及Hahn-Banach定理等，这些工具将极大地丰富我们对逼近问题的理解。 第三部分：逼近的精细性——误差分析与逼近阶 逼近的价值不仅在于能够逼近，还在于逼近的“好坏”，即逼近误差。本书将投入大量篇幅研究逼近误差的精细分析。 误差界限的估计： 我们将学习如何为各种逼近方法（多项式、三角多项式、样条等）建立精确的误差界限。这通常依赖于被逼近函数的光滑性。 模（Moduli）与逼近阶： 引入连续性模（或光滑性模）的概念，它是衡量函数“光滑程度”的量。我们将揭示逼近阶与连续性模之间的深刻联系，即Jackson定理和Bernstein不等式。这些定理表明，逼近阶能够被函数的连续性模所表征，为我们量化逼近的“好坏”提供了一个强大的理论框架。 收敛速度： 我们将研究在不同范数下，逼近序列相对于被逼近函数收敛的速度。这对于实际应用至关重要，因为它决定了达到所需精度所需的近似项数。 第四部分：逼近理论在现代数学与应用中的体现 本书的最后一部分，我们将展示逼近理论在当代数学研究和各个应用领域的强大渗透力。 数值分析： 逼近理论是数值分析的基石。多项式插值、样条插值、数值积分、数值微分等都直接源于逼近理论。我们将探讨如何利用逼近理论来设计和分析数值算法，例如高斯求积公式的构造与误差分析。 函数空间的几何： 逼近理论为我们理解函数空间的几何结构提供了深刻的洞察。例如，Riesz-Thorin定理和Marcinkiewicz插值定理等，它们建立了不同Lp空间之间的联系，并为分析算子在不同空间上的行为提供了工具。 偏微分方程： 在求解偏微分方程时，常常需要利用有限元方法、谱方法等数值技术，这些方法本质上都是在寻找方程解在某个逼近空间中的最佳逼近。 机器学习与数据科学： 现代机器学习算法，如神经网络，可以被视为一种高度复杂的函数逼近。理解逼近理论的原理，有助于我们更好地设计和解释这些算法。我们也将探讨核方法（Kernel Methods）和高斯过程（Gaussian Processes）等与逼近理论密切相关的现代技术。 概率论与统计学： 在处理随机过程、概率密度函数的估计等方面，逼近理论也扮演着重要角色。例如，核密度估计就是一种利用核函数进行逼近的方法。 本书的叙述逻辑严谨，层层递进，从基础概念到高级理论，再到广泛应用，力求为读者勾勒出一幅全面而深刻的逼近理论图景。我们相信，通过对本书的学习，读者不仅能够掌握逼近理论的核心知识，更能培养出分析和解决复杂数学问题的能力，并为进一步深入研究更前沿的数学课题打下坚实的基础。

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