具体描述
No calculus needed, but this is not an elementary book. Introduces vectors, algebraic notation and basic ideas, vector algebra and scalars. Covers areas of parallelograms, triple products, moments, angular velocity, areas and vectorial addition, more concludes with discussion of tensors. Includes 386 exercises.
《关于向量》内容简介 《关于向量》并非一本描绘具体故事情节的小说，亦非一本罗列事实的百科全书。它是一次深入的探索，一次对“向量”这一概念背后丰富内涵和强大力量的细致剖析。本书旨在引领读者穿越抽象的数学世界，触及向量在科学、工程、艺术乃至于我们日常感知中的多重面貌，揭示它们如何作为一种基础性的语言，构建起我们理解世界的基本框架。 第一部分：概念的基石——洞悉向量的本质 本书的开篇，我们将从最根本的层面出发，为读者构建对向量的直观理解。我们将超越教科书中枯燥的定义，通过一系列生动的比喻和实例，解释向量的“有方向的量”这一核心特征。想象一下，一次旅行，我们不仅需要知道走了多远（量），更需要知道朝哪个方向（方向）前进，这就如同向量一般。我们将探讨向量的组成要素：大小（模）和方向，以及它们如何相互依存，共同定义一个向量。 随后，我们将引入向量的几何表示法，从简单的箭头到多维空间中的线条，可视化向量的形态。读者将学习如何绘制、比较不同向量，以及理解向量的“相等”意味着什么——不仅数值上的相等，更在于其方向和大小的完全一致。 本书将详细介绍向量的基本运算：加法和减法。我们将运用“平行四边形法则”和“三角形法则”等经典几何方法，直观地展示向量的相加和相减是如何在几何空间中进行的。通过对这些运算的深入理解，读者将领会到向量如何巧妙地组合，从而描述复合运动、力的合成等现象。例如，当一个人同时受到风和自己前进动力的影响时，他的实际运动轨迹正是这两种向量的合成结果。 紧接着，我们将深入探讨向量的数乘运算，即一个标量（一个只有大小没有方向的量）与向量相乘。我们会解释数乘如何改变向量的大小，以及当数乘因子为负时，向量的方向如何反转。这为我们理解比例、缩放以及向量的伸缩提供了基础。 第二部分：向量的运算与性质——解锁数学的强大工具 在建立了对向量基本概念的直观认识后，本书将进一步拓展至更复杂的向量运算和性质。我们将引入“向量的点乘”（也称为数量积），解释它如何将两个向量映射出一个标量。我们将揭示点乘不仅仅是一种运算，它更蕴含着深刻的几何意义：它与两个向量夹角的余弦值成正比，从而能够判断向量之间的垂直性，计算投影，甚至在物理学中描述功的产生。通过具体案例，如计算一个物体在某个方向上受到的力所做的功，读者将深刻体会到点乘的实用价值。 本书还将详细阐述“向量的叉乘”（也称为向量积），这是一种在三维空间中特有的运算，它产生一个与原两个向量都垂直的新向量。我们将解释叉乘的结果向量的方向遵循“右手定则”，其大小则等于原两个向量所构成的平行四边形的面积。叉乘在物理学中扮演着至关重要的角色，例如在计算力矩、磁场强度等方面，本书将通过实例进行生动讲解。 我们将深入探讨向量空间的概念，这是理解更高级数学和物理理论的基石。读者将学习到向量空间的定义、基、维数等重要概念。我们将解释为什么向量空间如此重要，它为我们提供了一个统一的框架来研究不同类型的向量，以及为什么许多看似不同的数学对象，都可以被抽象地归结为向量空间的元素。 本书还会系统介绍向量的线性组合、线性无关以及基变换等概念。我们将解释线性组合是如何用一组基本向量来表示任意向量的，以及线性无关的向量为何能构成一个“独立”的基。基变换的讨论，则会帮助读者理解在不同的坐标系下，同一个向量如何拥有不同的表示，以及如何在不同坐标系之间进行转换，这对于解决复杂问题至关重要。 第三部分：向量的应用——贯穿科学与工程的脉络 《关于向量》的第三部分将把理论付诸实践，带领读者领略向量在各个领域的广泛应用。我们将从物理学入手，详细阐述向量如何在经典力学中描述位移、速度、加速度、力以及动量等基本物理量。本书将通过牛顿运动定律的向量形式，展示如何运用向量分析来解决复杂的力学问题，例如多体系统的运动分析、碰撞问题的计算等。 在电磁学领域，我们将展示向量场（如电场和磁场）的概念，并解释如何用向量来描述这些场在空间中的分布和强度。法拉第电磁感应定律、安培定律等基本定律，都离不开向量的引入，本书将通过具体的电磁现象，如电磁波的传播，来揭示向量在理解和描述电磁现象中的核心作用。 本书还将深入工程技术领域。在计算机图形学中，向量是绘制三维场景、进行动画制作、实现光照和阴影效果的基础。我们将解释如何用向量表示屏幕上的点、方向，以及如何通过向量运算来实现旋转、缩放、平移等变换。在航空航天领域，向量被用于计算飞行器的轨道、导航和控制。我们将探讨如何运用向量来描述行星的运动，计算火箭的发射轨迹，以及实现精确的姿态控制。 在数据科学和机器学习领域，向量已经成为描述和分析数据的基本工具。我们将介绍如何将数据集中的样本表示为高维向量，以及如何运用向量的距离、相似度等概念来聚类、分类和预测。线性回归、主成分分析（PCA）等重要的机器学习算法，都建立在向量运算的基础上。 此外，本书还将触及向量在其他领域的应用，例如： 地理信息系统（GIS）： 向量用于表示地理要素的位置、形状和空间关系，如地图上的点、线、面。 经济学： 向量可以用于表示多种商品的价格、数量，分析供需关系。 信号处理： 信号可以被看作是向量，向量运算用于滤波、傅里叶变换等。 图像处理： 图像中的像素值可以被组织成向量，向量运算用于图像的增强、滤波和识别。 第四部分：抽象的魅力与未来的展望——向量的深层含义 在本书的最后部分，我们将回归数学的抽象层面，探讨向量的更深层含义和发展趋势。我们将简要介绍线性代数的核心思想，以及向量在这门学科中的核心地位。我们将强调线性代数如何提供了一种强大的工具来解决线性方程组、理解矩阵的本质，以及进行更广泛的数学和科学研究。 本书还将展望向量概念在未来科学技术发展中的作用。随着计算能力的不断提升和数据量的爆炸式增长，向量及其相关的数学工具将变得更加重要。我们将探讨在量子计算、人工智能、复杂系统建模等前沿领域，向量将如何继续扮演关键角色，为我们理解和解决日益复杂的问题提供新的视角和方法。 《关于向量》并非一本简单的教科书，它是一次邀请，邀请读者一同踏上这场跨越理论与应用的智慧之旅。通过对向量的深入理解，读者不仅能掌握一种强大的数学工具，更能以一种全新的视角来审视和理解我们所处的世界。本书旨在激发读者的好奇心，培养他们的逻辑思维能力，并为他们在未来的学习和实践中提供坚实的基础。它是一份对“向量”这一基本概念的致敬，是对其在塑造我们知识体系中所扮演不可或缺角色的深刻解读。
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