Algebraic Topology pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Baas, Nils A. (EDT)/ Friedlander, Eric M. (EDT)/ Jahren, Bjorn (EDT)/ Ostvaer, Paul Arne (EDT)

出品人:

页数:409

译者:

出版时间:

价格:1073.00 元

装帧:

isbn号码:9783642011993

丛书系列:

图书标签:

代数拓扑
拓扑学
数学
抽象代数
同调论
上同调论
纤维丛
谱序列
代数几何
微分拓扑

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具体描述

代数拓扑学：探索空间结构的现代数学工具代数拓扑学是一门年轻而充满活力的数学分支，它将代数方法引入拓扑学，旨在利用代数工具来研究和理解几何空间的内在结构和性质。与直观的几何学不同，代数拓扑学不依赖于精确的度量或光滑性，而是关注那些在连续形变下保持不变的拓扑性质，例如连通性、孔洞的数量、缠绕方式等。这些性质通常被称为拓扑不变量。这本书将带领读者踏上一段深入探索代数拓扑学核心概念和重要技术的旅程。我们将从最基础的同伦论（Homotopy Theory）开始，理解连续映射的等价性，并介绍基本群（Fundamental Group）这一强大的代数不变量。基本群能够捕捉到空间的“环路”行为，通过研究它们的组合结构，我们可以区分出许多在几何上看似相似但本质上不同的空间。随后，我们将转向同调论（Homology Theory），这是代数拓扑学中另一大基石。同调论通过构造一系列代数对象——同调群，来描述空间的“孔洞”结构。我们将学习如何计算这些同调群，以及它们与空间的连通性、维度等拓扑性质之间的深刻联系。同调论提供了比基本群更丰富的几何信息，尤其在处理更复杂的空间时，其威力更为显著。本书还将触及上同调论（Cohomology Theory），它是同调论的对偶概念。上同调群与同调群有着密切的关系，并且引入了乘法结构，即上积（Cup Product），这为我们提供了更精细的分析工具，能够捕捉到空间中不同“孔洞”之间的相互作用。此外，我们将探索一些重要的代数拓扑学工具和概念，例如：链复形（Chain Complex）与链复合物（Chain Complexes）：这是构造同调群和上同调群的代数框架。我们将学习如何定义和操作链复形，并理解其与空间的拓扑结构之间的对应关系。奇异同调（Singular Homology）：这是最常用的一种同调理论，它通过嵌入所有可能的三角形（及其高维推广）到空间中来定义同调群。我们将详细讲解奇异同调的定义、性质及其计算方法。单纯复形（Simplicial Complex）：这是一种离散的几何结构，由顶点、边、三角形以及更高维的单纯形组成。许多代数拓扑学的计算都可以在单纯复形上进行，它提供了一种将连续空间离散化处理的有力途径。纤维丛（Fiber Bundles）：纤维丛是许多几何和拓扑结构的基础，例如球面、环面等都可以看作是特殊的纤维丛。我们将介绍纤维丛的基本概念，并探讨其在代数拓扑学中的应用，例如将空间的拓扑性质与其“局部”结构联系起来。庞加莱对偶（Poincaré Duality）：对于某些特殊的空间（例如紧致流形），庞加莱对偶性揭示了其同调群和上同调群之间的深刻对称性。这将是理解高维空间结构的一个重要视角。本书的编写旨在为读者构建一个清晰、系统且严谨的代数拓扑学知识体系。我们将通过大量的例子和计算来说明抽象概念，并逐步引导读者掌握运用这些工具解决实际问题的能力。代数拓扑学不仅是纯粹数学研究的有力工具，也在理论物理学、计算机科学、网络科学等多个领域有着广泛的应用。掌握代数拓扑学的基本原理，将为理解和分析复杂系统提供全新的视角和强大的方法。无论您是数学专业的学生，还是对探索空间本质充满好奇的研究者，这本书都将为您打开一扇通往代数拓扑学奇妙世界的大门。我们将从基础概念出发，循序渐进地深入，确保读者能够逐步建立起扎实的理解，并为进一步深入研究打下坚实的基础。