The Lanczos And Conjugate Gradient Algorithms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Meurant, Gerard

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页数:184

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价格:107

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isbn号码:9780898716160

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• 数值分析
• 线性代数
• 迭代法
• Lanczos算法
• 共轭梯度法
• 矩阵计算
• 科学计算
• 优化算法
• 数值线性代数
• 算法

《数值分析与优化方法进阶：理论、应用与现代挑战》 本书导读 在现代科学、工程、经济乃至数据科学领域，解决复杂的数学模型往往归结于高效、稳定且可扩展的数值计算方法。本书旨在为研究生、高级研究人员以及资深工程师提供一套深入且全面的数值分析与优化理论体系，重点关注那些在处理大规模、高维度问题时表现出卓越性能的核心算法框架。我们不局限于单一算法的细节，而是构建一个宏观的视角，探讨如何将理论转化为实际的、鲁棒的计算实践。 本书的结构设计旨在引导读者从基础概念出发，逐步深入到最前沿的研究方向。我们将详细阐述算法的收敛性分析、误差控制机制，以及在不同计算环境（如并行处理、分布式系统）下的适应性。 --- 第一部分：数值线性代数与矩阵分解的深度剖析 本部分将矩阵运算视为解决一系列工程问题的基石，深入挖掘经典与现代分解技术背后的数学原理与计算实现细节。 第一章：精确与近似的线性系统求解 高斯消元法的稳定化与稀疏性处理： 超越教科书层面的LU分解，探讨部分主元选择、增长因子分析，以及如何利用矩阵的稀疏性结构进行高效存储（如CSR, CSC格式）和求解。重点分析在有限精度浮点运算下，病态矩阵对解的敏感性，以及如何通过迭代精化（Iterative Refinement）来提高精度。 矩阵分解的广义视角： 详细审视Cholesky分解在正定系统中的应用，并将其推广到LDL$^T$分解，讨论如何在不进行显式平衡（Balancing）的情况下处理对称不定矩阵。引入Householder变换和Givens旋转的几何意义，以及它们在构造QR分解中的核心作用，特别是在最小二乘问题中的稳定性优势。 特征值问题的计算框架： 深入探讨如何利用相似变换将矩阵转化为易于处理的 Hessenberg 或 Tridiagonal 形式。重点讲解QR算法的迭代过程、移位策略（如Rayleigh商移位、 Wilkinson移位）对收敛速度的决定性影响。对于大型、非对称问题，我们将分析Lanczos型方法在生成 Krylov 子空间中的潜力，以及其与 Arnoldi 迭代的关系，重点讨论 Arnoldi 过程中的重整化（reorthogonalization）策略及其计算代价。 第二章：大规模矩阵分解与降维技术 奇异值分解（SVD）的高效计算： 剖析 Golub-Kahan 迭代在计算最大或最小奇异值时的应用。讨论如何利用预处理技术（Preconditioning）加速 Bidiagonalization 过程。在数据分析中，我们将探讨截断SVD（Truncated SVD）如何成为有效的低秩近似方法，并分析其近似误差界限。 张量分解基础： 将矩阵代数推广到高阶张量。介绍 CP 分解（CANDECOMP/PARAFAC）和 Tucker 分解的数学定义、优化目标函数（如最小二乘残差或 Kullback-Leibler 散度），以及迭代交替最小二乘（ALS）和交替线搜索（ALS）算法在求解过程中的收敛性保证与陷阱。 --- 第二部分：非线性优化理论与现代算法设计 本部分关注目标函数非线性、约束复杂的优化问题，旨在提供处理实际工程约束和复杂目标函数的工具箱。 第三章：无约束优化：超越经典方法 二阶方法与牛顿法族的演化： 深入分析牛顿法的局部二次收敛性，并着重于如何处理海森矩阵（Hessian Matrix）的非正定性问题。详细讲解拟牛顿（Quasi-Newton）方法，特别是 BFGS 和 DFP 算法的秩一/秩二更新公式的推导，强调这些方法如何在不计算真实海森矩阵的情况下，模仿其逆矩阵的属性。 信赖域方法（Trust-Region Methods）： 系统阐述信赖域方法的核心思想——在局部可行域内近似求解二次模型。详细分析如何求解子问题（Subproblem），包括求解边界问题和使用共轭梯度法求解内部点。重点讨论如何动态调整信赖域半径的策略，及其对全局收敛性的贡献。 大规模优化中的梯度下降变体： 对一阶方法进行批判性评估。区分动量（Momentum）、Nesterov 加速梯度（NAG）和自适应学习率方法（如 AdaGrad, RMSProp, Adam）的理论基础。分析这些方法在凸优化与非凸优化中的表现差异，以及它们如何通过历史梯度信息来调整搜索方向和步长。 第四章：约束优化与对偶理论 KKT 条件与可行性分析： 对 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 最优性条件的数学推导进行详尽阐述，并分析其作为一阶必要条件的应用边界。重点讨论约束规范（Constraint Qualifications，如 LICQ, RCQ）在保证 KKT 条件为充分条件中的作用。 内点法（Interior-Point Methods）的结构： 深入剖析内点法在处理线性规划（LP）和二次规划（QP）中的核心机制。详细解释障碍函数（Barrier Function）的构造、障碍参数的衰减策略，以及如何利用牛顿法求解对偶系统。对比单纯形法，分析内点法在处理大规模稀疏问题时的优势。 序列二次规划（SQP）： 将约束优化问题转化为一系列二次规划子问题的求解过程。重点分析如何利用拟牛顿技术来近似求解子问题中的海森矩阵（或其乘积），以及如何处理非线性约束下的线搜索或信赖域策略。 --- 第三部分：迭代方法与 Krylov 子空间理论 本部分专注于处理那些维度过高，无法进行显式矩阵分解的线性系统，即迭代方法的黄金领域。 第五章：优化导向的迭代求解器 Krylov 子空间方法的基础构建： 严谨推导 Krylov 子空间 $K_m(A, b) = ext{span}{b, Ab, A^2b, dots, A^{m-1}b}$ 的构建过程，并展示其与误差向量 $mathbf{r}_k$ 之间的关系。 极小残差法（MINRES）与共轭梯度法（CG）的统一视角： 详细比较 MINRES（适用于任意对称系统）和 CG（适用于对称正定系统）的迭代过程。重点分析 CG 算法中，残差向量如何保持双正交性（Biorthogonality），以及极小化残差平方范数的几何意义。深入探讨为什么 CG 可以在理论上保证在 $min(n, sqrt{kappa})$ 步内找到精确解（在精确算术下）。 非对称系统的迭代策略： 引入 GMRES (Generalized Minimal Residual) 算法。详细阐述 Arnoldi 过程如何生成正交基，以及 GMRES 如何在每次迭代中求解一个小型 Hessenberg 系统的最小二乘问题。讨论 GMRES 的内存需求和截断策略（Restarting），以及如何通过循环重启动来平衡计算成本与收敛速度。 第六章：预处理技术与加速收敛 预处理的数学基础： 阐明预处理器的目标是将原始问题 $Ax=b$ 转化为具有更优良数目的预处理系统 $M^{-1}Ax = M^{-1}b$。讨论左预处理、右预处理和双预处理的适用场景。 经典预处理器详述： 深入分析 Jacobi、SOR (Successive Over-Relaxation) 和 SSOR 的收敛条件，特别是 SOR 方法中最优松弛参数 $omega$ 的确定方法及其对谱半径的控制。 代数预处理技术： 重点介绍代数多重网格（AMG）的核心思想，即如何从离散矩阵本身构建粗化空间和插值算子，实现与网格剖分无关的预处理效果。讨论如何将预处理技术与迭代求解器（如 GMRES(k) + ILU(p)）结合，形成高效的混合求解框架。 --- 第四部分：现代计算环境下的算法适应性 本部分探讨了在超越单核计算范式下，数值算法如何演进以充分利用现代硬件架构的优势。 第七章：并行计算与分布式优化 矩阵向量乘法的并行化： 分析 2D 和 3D 网格划分策略在并行计算中对稀疏矩阵向量乘法（SpMV）的影响，特别是通信开销与计算负载的平衡。 并行 Krylov 方法： 探讨如何在分布式内存环境中实现 CG 和 GMRES 的关键操作（如内部积的归约、向量更新），重点分析 MPI 通信原语（如 Allreduce）在保证算法正确性和效率中的作用。 随机化与近似算法： 在数据量巨大、无法存储全部矩阵的场景下，介绍随机化算法的原理。分析随机化 SVD 和随机化特征值分解如何在理论保证下，显著加速大型矩阵的近似计算。 第八章：不适定问题的正则化 Tikhonov 正则化与 L-Curve 方法： 深入探讨 Tikhonov 正则化项的作用，分析其在解空间和平滑性需求之间的权衡。详细介绍 L-Curve 方法在确定最优正则化参数 $lambda$ 时的几何解释和计算流程。 迭代方法中的隐式正则化： 将 Krylov 子空间方法视为一种隐式正则化。分析在 GMRES 提前截断时，是如何通过选择较低维子空间来抑制高频噪声的影响，从而达到正则化目的。 本书的最终目标是使读者能够批判性地选择、设计和实现最适合特定问题的数值方法，无论问题涉及的矩阵大小、稀疏性、是否线性，或是其优化目标函数的复杂程度。全书贯穿着严谨的数学论证和对实际计算效率的深刻洞察。

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这本书的排版和图表设计，也体现出出版方极高的专业水准。对于数学和计算类书籍而言，清晰的图表是理解复杂几何或迭代过程的关键。我注意到，书中所有的插图和流程图都达到了极高的清晰度，线条的粗细、标记的符号，都经过了精心设计，确保在A4纸上打印出来后，关键的细节也不会模糊不清。更让我惊喜的是，它对算法的伪代码描述，几乎可以直接被翻译成主流编程语言（如Python或MATLAB）的实现。这种高可操作性，大大缩短了理论到实践的距离。我曾尝试着在阅读完某一章后，立刻搭建一个小型的测试环境来验证作者的结论，发现按照书中的步骤操作，结果几乎是完全吻合的，这极大地增强了我对后续学习的信心。对于需要将优化算法嵌入到实际工程系统中的工程师来说，这种“即学即用”的特性，是衡量一本技术书籍实用价值的硬性指标，而这本书在这方面表现得无可挑剔。

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说实话，我一开始是带着怀疑的态度来阅读的，因为市面上关于数值方法的书籍实在太多，多数都是换汤不换药的翻版。然而，这本书的叙述风格出乎意料地具有个人魅力。它不像教科书那样板着面孔，反而有一种老派学者的风范，语气中带着鼓励和对读者的信任。它在讲解核心概念时，总是习惯性地引入一些历史背景，比如某个算法最初是如何被提出，当时的计算资源如何限制了它的发展，以及随着计算机能力的提升，我们现在可以如何改进它。这种“讲故事”的方式，极大地增强了阅读的代入感和趣味性。我发现自己不仅记住了公式，更记住了公式背后的“思想火花”。特别是关于误差分析的部分，作者并没有回避那些容易出错的地方，反而大方地指出了不同方法在数值稳定性和精度上的权衡取舍，这种坦诚的态度，让这本书显得尤为可信。它引导我去思考，而不是仅仅被动地接受信息。

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我必须强调这本书在深度和广度上的平衡，这是许多同类书籍难以企及的。它不仅扎实地覆盖了基础理论，更令人惊喜的是，它还提供了对前沿研究方向的深入洞察。我原以为它会止步于经典内容，但翻阅到后半部分时，发现其中竟然包含了对现代迭代方法在非线性系统中的最新应用案例的探讨。这种前瞻性，让这本书的保质期大大延长，它不仅仅是一本学习指南，更像是一份可以长期参考的研究参考手册。作者在讨论这些高级主题时，并没有采用那种故作高深的概括性语言，而是深入到具体的数学结构中进行剖析，这要求读者具备一定的预备知识，但同时也保证了讨论的深度。对于研究生和希望深入学术前沿的研究人员而言，这本书提供的视角和工具箱是极其宝贵的。它成功地在“入门友好”和“专家级深度”之间找到了一个绝佳的支点，是一部真正能够陪伴读者职业生涯成长的典范之作。

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当我翻开这本书的篇章时，最先映入眼帘的是那种扑面而来的严谨性和对细节的偏执追求。这绝对不是那种为凑字数而堆砌内容的商业读物，它更像是一部精密计算工具的说明书，每一个定理、每一个推导，都经过了反复的打磨和验证。我特别留意了书中关于大规模矩阵处理的章节，那些关于稀疏性和内存管理的讨论，简直是为我们这些处理高维数据的工程师量身定做的“手术刀”。不同于市面上流行的那些“速成”读物，这本书要求读者投入足够的时间和精力去消化，它不提供捷径，但它承诺给予最坚实的基础。我记得书中对比了不同预处理器对计算效率的影响，那种详尽的对比分析，甚至精确到了浮点运算次数的估算，让我深刻理解了在真实计算环境中，理论最优解和实际可行解之间的巨大鸿沟。这使得我在后续的工作中，不再盲目追求数学上的完美，而是能更务实地根据计算资源来调整策略。这本书的价值，在于它教会你如何成为一个优秀的“计算决策者”，而不是一个单纯的公式搬运工。

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这本书真是让人醍醐灌顶，尤其对于那些沉浸在数值优化和线性代数海洋中，却总感觉抓不住核心脉络的科研工作者来说，它简直是一盏明灯。我尤其欣赏作者在解释理论深度和实际应用之间的那种微妙平衡。很多教材往往要么过于抽象，把读者直接扔进高深的数学公式里，让人望而却步；要么又过于浅显，只停留在表面，无法指导解决实际工程中的复杂问题。但这本书，它巧妙地构建了一个桥梁。读它的时候，我感觉自己像是跟着一位经验丰富的老教授在实验室里进行实地考察，他不仅会告诉你“是什么”（理论基础），更重要的是会细致地剖析“为什么会这样”（背后的直觉和局限性），以及“在什么情况下应该如何使用它”（实际案例的考量）。书中对算法收敛速度的讨论，那种对迭代次数和误差精度的严谨分析，远超我之前接触过的任何资料。它没有使用那种故作高深的术语堆砌，而是通过清晰的逻辑链条，将复杂的数学概念逐步拆解，即便是初次接触这些优化方法的读者，也能循序渐进地建立起扎实的理解。那种读完后豁然开朗的感觉，是衡量一本优秀技术书籍的关键标准，而这本书完美地做到了这一点。

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